Previsione e incertezza di previsione

La valutazione dei valori attese segue in modo naturale dal caso di una sola variabile. Questo può essere visto più chiaramente nel caso di variabili discrete: il valore atteso di una funzione di variabili casuali si calcola ``facendo la somma, estesa su tutto il campo di definizione, del prodotto della funzione, calcolata in ogni punto, per la probabilità di quel punto''. Come si vede, questa definizione non dipende dal numero di variabili casuali (ovvero dalle dimensioni dello spazio che contiene il vettore aleatorio), quindi nel caso più generale:

$$[g(X,Y,Z,\cdots )] = \sum_x \sum_y \sum_z \cdots \,g(x,y,z,\cdots )\, f(x,y,z,\cdots )\,.$$ (9.13)

Nel caso di variabili continue, la ``probabilità di un punto'' viene sostituita dal concetto di elemento infinitesimo di probabilità di trovare le variabili casuali nell'intorno di quel punto e le sommatorie diventano integrali su tutte le variabili:

$$[g(X,Y,Z,\cdots )] = \idotsint g(x,y,z,\cdots )\cdot f(x,y,z,\cdots )\, z y z\cdots$$ (9.14)

Dalla formula generale ci possiamo calcolare il valore atteso e la varianza di ciacuna delle variabili. Prendendo, ad esempio, la $X$ e considerando, per semplicità, ma senza perdere in generalità, due sole variabili continue, si tratta di calcolare E$(X)$ e E$[(X-\mu_X)^2]$. Il fatto che queste due funzioni, di cui si è interessati al valore atteso, dipendano soltanto da una variabile semplifica i calcoli, in quanto, in generale

$$[g(X)] = \iint g(x)\, f(x,y)\, x y$$

$$= \int g(x)\, \left[ \int f(x,y)\,\mbox{d}y \right]\, \mbox{d}x$$

$$= \int g(x)\cdot f(x) \, x,$$ (9.15)

ottenendo lo stesso risultato che si sarebbe ottenuto utilizzando la funzione marginale della variabile di interesse. Abbiamo quindi ricondotto il problema del calcolo di media e di deviazione standard nel caso molte variabili (multivariato) a quello di una sola variabile (univariato). Questo risultato è ``confortante''. Difatti abbiamo già detto che per ogni evento è possibile definire un numero arbitrario di variabili casuali. Quando se ne considera una sola si ignorano tutte le altre: se il valore atteso di una variabile (scelta senza nessuna condizione restrittiva) dovesse dipendere da tutte le altre si porrebbero problemi di definizione.