${\bf\circlearrowright }$Distribuzioni statistiche multivariate

Il concetto di distribuzione multivariata si estende anche al caso delle distribuzioni statistiche, prestando attenzione a tenere ben divisi i concetti, che per comodità ripetiamo: nella distribuzione di probabilità si associa un grado di fiducia ad ogni vettore che descrive un possibile esito; nel caso di distribuzione statistica si associa ad esso un peso statistico dato dalla frequenza relativa con cui i vettori di esiti si sono verificati. Nel caso discreto le due distribuzioni sono quindi formalmente equivalente:

$$\{x_i,y_i\} \leftrightarrow f(x_i,y_i)$$ variabili casuali:

$$\{x_i,y_i\} \leftrightarrow w_i$$ variabili statistiche:

Nel caso di distribuzioni statistiche non ha molto senso parlare di variabili continue, in quanto i numeri che si registrano hanno sempre una risoluzione finita. Ne segue che gli analoghi degli elementi infinitesimi di probabilità sono i pesi statistici di una celletta di dimensione finita:

$$\{x,y\} \leftrightarrow f(x,y)\, x, y$$ variabili casuali:

$$\{(x_i,\Delta X),(y_i,\Delta Y)\} \leftrightarrow w_i\,.$$ variabili statistiche:

Anche nel caso di distribuzioni statistiche si può fare uso di covarianza e deviazione standard per riassumere la correlazione fra variabili statistiche, tenendo conto delle solite note sulle diversità di interpretazione delle grandezze di nome analogo. Se abbiamo $n$ coppie di valori, ciascuna di peso statistico $w_i$, abbiamo

$$(x,y) = \sum_i w_i\,(x_i-\overline{x})\, (y_i-\overline{y})\, ,$$ (9.71)

che nel caso di pesi tutti uguali abbiamo

$$(x,y) = \frac{1}{n}\, \sum_i(x_i-\overline{x})\, (y_i-\overline{y})\, .$$ (9.72)