Problemi

1. Una variabile casuale segue una distribuzione uniforme nell'intervallo da 0 a 1. Dodici realizzazioni della variabile casuale sono sommate fra di loro e il risultato viene diminuito di 6. Calcolare la probabilità che questa nuova variabile cada nell'intervallo compreso fra -1 e 1.

2. Un campione contiene 300 realizzazioni di una variabile casuale, ciascuna delle quali segue una distribuzione uniforme di parametri $a=0$ e $b=1$. Quanto vale la probabilità che la media aritmetica dei 300 valori sia maggiore di 0.55 ?

3. In un autogrill sull'autostrada si fermano in media fra le 12:00 e le 13:00 85 auto. Supponendo che il numero di macchine segua una distribuzione di Poisson, quanto vale la probabilità che un giorno se ne fermino 100 o più?

4. Si lancia 1500 volte un dado. Quanto vale la probabiltà che il ``sei'' si verifichi esattamente 250 volte?

5. Una moneta viene lanciata rispettivamente 10, 100, 1000 e 10000 volte. Calcolare la probabilità che l'occorrenza dell'evento Testa sia maggiore o uguale rispettivamente di 6, 60, 600 e 6000.

6. Si ritiene che due campioni di $n$ risultati sperimentali indipendenti siano descritti da distribuzione di valore medio $\mu$ e deviazione standard $\sigma$. Quanto vale la probabilità che le due medie differiscano fra di loro più di $\sigma/\sqrt{n}$?

7. Le variabili casuali $X_i$, con $i=1,2,\ldots 20$, seguono una distribuzione normale di parametri $\mu_i=5$ e $\sigma=2$; le variabili casuali $X_i$, con $i=21,22, \ldots, 30$, seguono una distribuzione normale di parametri $\mu_i=1000$ e $\sigma=1$; le variabili casuali $X_i$, con $i=31,32,\ldots 60$, seguono una distribuzione uniforme nell'intervallo [-10, -2]. Definendo la variabile $Y=\sum_{i=1}^{60}X_i$, quanto vale la probabilità che $Y$ sia minore di 9900?

8. Le variabili casuali $X_i$, con $i=1,2,\ldots 20$, seguono una distribuzione normale di parametri $\mu_i=120$ e $\sigma = 0.1$; le variabili casuali $X_i$, con $i=21,22,\ldots 30$, seguono una distribuzione normale di parametri $\mu_i=-240$ e $\sigma = 0.02$; la variabile casuale $X_{31}$ segue una distribuzione uniforme nell'intervallo [-100, 100]. Definendo la variabile $Y=\sum_{i=1}^{31}X_i$, quanto vale la probabilità che $Y$ sia maggiore di -150?

9. Sul problema 31(**check**) del capitolo 7: quanto vale la probabilità di ottenere una frequenza relativa minore di 0.6 o maggiore di 0.6? Che senso ha tale ``dimostrazione''?