Combinazione di risultati

Come visto più volte nei paragrafi precedenti, la combinazione di risultati si ottiene iterando l'apprendimento bayesiano. Se abbiamo $n$ osservazioni $x_i$ in intervalli di tempo di uguale durata (o in regioni spaziali uguali, se il problema è nel dominio dello spazio) e partiamo da una distribuzione di $\lambda$ uniforme, abbiamo (a parte irrilevanti fattori moltiplicativi):

$$f(\mu\,\vert\,\mathbf{x}) \propto (\lambda^{x_1} \,e^{-\lambda})\cdot (\lambda^{x_n} \,e^{-\lambda}... ...cdots\, (\lambda^{x_n} \,e^{-\lambda}) = \lambda^{-\sum_ix_i} \,e^{-n\,\lambda}$$ (12.53)

$$\mu \sim \left(\sum_i x_i -1, n\right)\,,$$ (12.54)

avendo riconosciuto in $f(\mu)$ una distribuzione Gamma. Otteniamo quindi dalle (8.40)-(8.42)

$$(\lambda) = \frac{\sum_i x_i-1}{n}$$ (12.55)

$$\sigma(\lambda) = \frac{\sqrt{\mbox{E}(\lambda)}}{\sqrt{n}}$$ (12.56)

$$(\lambda) = \frac{\sum_i x_i}{n} \,.$$ (12.57)

Come al solito, per $\sum_i x_i\gg 0$ abbiamo una distribuzione gaussiana

$$\mu \sim {\cal N}\left( \frac{\sum_i x_i}{n}, \frac{1}{\sqrt{n}}\,\sqrt{\frac{\sum_i x_i}{n}}\right)\,.$$ (12.58)