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Inferenza sull'intensità del processo di Poisson da osservazioni effettuate con diversi tempi di osservazione

Nei paragrafi precedenti ci siamo concentrati sull'inferenza di $ \lambda $. Il passaggio all'intensità del processo di Poisson $ r$ è immediata in quanto $ r$ e $ \lambda $ sono legati fra di loro linearmente $ \lambda = r\,T$, con $ T$ tempo di osservazione (non si confonda questo $ r$ con l'omologo parametro della Gamma). A volte lo stesso fenomeno modellizzato come un processo di Poisson è osservato con diversi tempi di osservazione, ottenemdo $ x_i$ negli intervalli di tempo $ T_i$. Avendo visto ancora una volta l'irrilevanza della esatta forma della prior nei di interesse pratico e per evitare confusione con il parametro $ r$ della Gamma, usiamo una distribuzione iniziale uniforme. Ottemiamo, a meno dei soliti fattori moltiplicativi:
$\displaystyle f(r\,\vert\,\mathbf{x},\mathbf{T})$ $\displaystyle \propto$ $\displaystyle \prod _i (r\,T_i)^{x_i}\cdot e^{-r\,T_i} \propto
r^{\sum_i x_i} \cdot e^{-r\,\sum_i T_i}$ (12.65)
$\displaystyle r$ $\displaystyle \sim$ Gamma$\displaystyle \left(\sum_i x_i+1,\sum_i T_i\right) \,,$ (12.66)

e quindi
E$\displaystyle (r)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x_{tot}+1}{T_{tot}}
\xrightarrow[x_{tot}>>1]{}\frac{x_{tot}}{T_{tot}}$ (12.67)
$\displaystyle \sigma(r)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{x_{tot}+1}}{T_{tot}}
\xrightarrow[x_{tot}>>1]{} \frac{1}{\sqrt{T_{tot}}}\sqrt{\mbox{E}(r)}\,.$ (12.68)


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Giulio D'Agostini 2001-04-02