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Capitolo 7

Mettere in tutti i problemi esplicitamente fa funzione utilizzata (es $ f(0\,\vert\,{\cal P}_3)$).
  1. $ f(2\,\vert\,{\cal B}_{6,1/5})=24.6\,\%$; $ 1-f(0\,\vert\,{\cal B}_{6,1/5})= 73.8\,\%$.

  2. $ f(3\,\vert\,{\cal B}_{8,0.246})=15.3\,\%$.

  3. Indicando con $ p_2=f(2\,\vert\,{\cal B}_{2,1/5})=0.04$, siamo interessati a $ X \sim {\cal G}_{p_2}$. Quindi: $ 25\pm 25$ ($ \pm 24.5$, ad essere precisi). .

  4. $ p=1/4$, $ n=16$: $ P(X<5)= F(4\,\vert\,{\cal B}_{16,1/4}) = 63.0\,\%$.

  5. $ f(3\,\vert\,{\cal B}_{10,1/2}) = 0.172$. (Il fatto che si tratti di diversi tipi di monete è irrilevante.)

  6. Il totale di monete lanciate è pari a 10, ciascuna ha probabilità $ 1/2$ di mostrare testa, ma gli eventi non sono indipendenti. Si vede verifica facilmente che $ P(X=5)=1$ e $ P(X\ne 5)=0$. La distribuzione non è binomiale. Chiamando $ n$ il numero totale di monete lanciate, si ha $ f(x=n/2)=1$ e $ f(x\ne n/2)=0$, da cui E$ (X)=n/2$, Var$ (X)=0$.

  7. Il processo non è binomiale in quanto ogni estrazione ha diversa probabilità (1/2, 1/6, 2/3, 1/37 e 1/4). $ P(X=0)=0.101=15/148$, $ P(X=1)=0.361$: $ F(1)=0.462$.
    $ P(X=5) = 3.75\cdot 10^{-4}=1/2664$.

  8. $ 1-F(7\,\vert\,{\cal B}_{10,0.6}) = 16.7\,\%$ Per sveltire i conti è preferibile considerare il processo complementare con $ p$ e $ q$ scambiate: $ F(2\,\vert\,{\cal B}_{10,0.4}))=16.7\%$

  9. Se il giocatore $ A$ si aggiudica meno di 2 delle residue 4 partite allora ha vinto il giocatore $ B$: $ P(B) = F_A(1)
F(1\,\vert\,{\cal B}_{4,1/4}) = f(0)+f(1)=5/16$; $ P(A)=11/16$.

  10. $ P(H_i\,\vert\,I_0)=\{0.03,\,0.16,\,0.31,\,0.31,0.16,\,0.03\}$.
    $ H_1=N$: ***
    $ H_2=N,B$: ***
    $ H_3=N,B,N$: ***

  11. $ {\cal B}_{6,1/2}$: 0.016, 0.094, 0.234, 0.313, 0.234, 0.094, 0.016.

    $ {\cal P}_{0.874}$: 0.417, 0.365, 0.159, 0.046, 0.010, 0.0018.

  12. $ P(X>0\,\vert\,{\cal P}_{0.417}) =
1-f(0\,\vert\,{\cal P}_{0.417}) = 34.1\,\%$.

  13. $ f(5 \,\vert\, {\cal B}_{10, 0.659}) = 14.4\,\%$.

  14. $ f(0\,\vert\,{\cal P}_\lambda) = 0.05 \Rightarrow \lambda = 3.00$. Da cui $ P(X\ge 4\,\vert\,{\cal P}_\lambda) =
1-F(3\,\vert\,{\cal P}_\lambda) = 35.3\,\%$.

  15. $ r=1.67$cont/s. In un secondo $ \lambda = 1.67$, da cui $ p=1.67\times 10^{-22}$.

  16. $ f(0\,\vert\,{\cal P}_{1.2}) = 30\,\%$;
    $ F(10\,\vert\,{\cal P}_{18}) = 3.0\,\%$.

  17. $ f(0\,\vert\,{\cal P}_\lambda) = 0.0153$ $ \rightarrow \lambda=4.18$ $ \rightarrow v=\sigma/\mu=1/\sqrt{\lambda} = 0.489$.

  18. $ 1-F(2\,\vert\,{\cal P}_{4}) = 76.2\,\%$.

  19. $ 1-F(10\,\vert\,{\cal P}_{6.5})=6.7\,\%$.

  20. Chiamando $ X_i$ le opportune variabili casuali di interesse in ciascuna delle domande:
    1. $ P(X_1\le10)=F(10\,\vert\,{\cal P}_{20}) = 0.011$; $ P(X_1=10)=f(10\,\vert\,{\cal P}_{20}) = 0.0058$
    2. $ P(X_2\ge 2)=1-F(1\,\vert\,{\cal B}_{10,0.15}) = 0.456$; $ P(X_2\ge 2)=1-F(1\,\vert\,{\cal B}_{20,0.15}) = 0.824$ (si noti la dipendenza non lineare da $ n$: si provi anche $ n=30$).
    3. $ P(X_3 \ne 0)=1-f(0\,\vert\,{\cal P}_{3/4}) = 0.528$;
    4. $ P(X_4\ge 2)=1-F(1\,\vert\,{\cal B}_{5,0.528}) = 0.846$.
  21. $ v=0.01\Rightarrow \lambda = 10^\cdot 000 \Rightarrow t=2^\cdot 000\,$s.

  22. E$ (X)=(\pi/4)\times n = 7854$, $ \sigma(X)=41$, $ v=0.0052$.
    $ v=0.0001 \rightarrow n=10000\times 52^2\approx 27\times 10^6$.

  23. Essendoci $ 6.02\times 10^{23}$ molecole in 24.4 litri, la previsione è pari a $ 2.5\times 10^{16}$ molecole. L'incertezza di previsione dovuta alla natura aleatoria del fenomeno è pari a $ \sqrt{2.5\times 10^{16}}=1.6\times 10^{8}$, con una incertezza relativa di previsione di $ 6\times 10^{-9}$. Chiaramente diventano dominanti le incertezze dovute alla temperatura, pressione e determinazione del volume.

    Affinché $ f(0\,\vert\,{\cal P}_\lambda)=0.01$, $ \lambda $ (numero medio di molecole nel volumetto) deve essere pari a 2.3. Ne segue $ V_\circ=9.3\times 10^{-26}$ m$ ^3$ = $ (4.5\times 10^{-9})^3$, ovvero un cubettino di lato pari a 4.5nm, il quale potrebbe contenere $ \approx 10^5$ oggetti di 0.1nm (tipiche dimensioni atomiche).

  24. $ P(X \ne 0)=1-f(0\,\vert\,{\cal P}_{3.6}) = 97.3\,\%$.

  25. $ 156\,\pm 89$ volte (distribuzione di Pascal con $ p=1/52$ e $ k=3$).

  26. $ \le 2.3 \,\%$ (disuguaglianza di Cebicev).

  27. No: $ 1-F(1\,\vert\,{\cal P}_{1.22})= 34.5\,\%$, contro $ 1-F(0\,\vert\,{\cal P}_{0.61})= 45.7\,\%$; no.

  28. 0. (Non confondere con $ P(X\ge 6 \,\vert\, {\cal P}_{0.61})$ = $ 4.2\times 10^{-5}$!).

  29. $ \lambda_1=n/365$;
    $ p_\circ=1-F(1\,\vert\,{\cal P}_{\lambda_1})$;
    $ p(n) = 1 - f(0\,\vert\,{\cal B}_{365,p_\circ})$.
    Per esempio per $ n=23$ si ottiene $ p(n)=50.1\,\%$ invece di $ 50.7\,\%$ della formula esatta.

  30. $ f(x\,\vert\,{\cal H}_{7,3,3})$, con $ x=0,\ldots ,3$: 0.114,0.514, 0.343, 0.29.

    $ v=(1/2)/\sqrt{n}< 1/50$: $ \rightarrow n>625$.


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Giulio D'Agostini 2001-04-02