Visione combinatoria del teorema di Bayes

Includiamo un esempio in cui si mostra come arrivare alla formula di Bayes da considerazioni combinatorie, ad uso di coloro che si trovano più a loro agio con esempi di questo tipo. Si tenga conto che tale visione è comunque fortemente limitativa in quanto non è di uso generale e, in particolare, non è utilizzabile nella valutazione della probabilità delle cause e quindi in tutti i casi di inferenza legata alle misure.

Supponiamo che il mercato delle automobili sia costituito da tre sole fabbriche A, B e C, le quali detengono rispettivamente le seguenti quote di mercato: 70%, 25% e 5%. Supponiamo inoltre di sapere che dopo dieci anni siano ancora funzionanti: il 6% delle auto A, il 22% delle B e il 75% delle C. Un amico ci dice di avere un'auto di oltre 10 anni. Qual'è la probabilità che sia una A?
Un modo di risolvere il problema è di considerare il numero di auto prodotte e quello di quelle circolanti dopo dieci anni, come schematizzato nella seguente tabella:

Marca	Quota	P($\geq 10$ anni)	$N_0$	$N_{\geq 10}$
A	70%	6%	$0.7\times N$	$0.7\times 0.06 \times N$
B	25%	22%	$0.25\times N$	$0.25\times 0.22 \times N$
C	5%	75%	$0.05\times N$	$0.05\times 0.75 \times N$

Troviamo quindi che la probabilità cercata è:

$$P = \frac{0.06 \times 0.7} {0.06\times 0.7 + 0.22\times 0.25 + 0.75\times 0.05} = 31\%\,.$$

Interpretando le varie frazioni come probabilità (nel senso di usare la valutazione di probabilità dai casi favorevoli e quelli possibili), possiamo riscrivere questo risultato come

$$P(A\,\vert\,F) = \frac{P(F\,\vert\,A)\cdot P(A)} {P(F\,\vert\,A)\cdot P(A) + P(F\,\vert\,B)\cdot P(B) + P(F\,\vert\,C)\cdot P(C)}\,,$$

dove $F$ sta per ``funziona dopo 10 anni''. Si riconosce in questa formula particolare la (5.5).