Riaggiornamento della probabilità

Le ipotesi a cui siamo interessati sono quelle della partizione dell'evento certo $\Omega=\{B, O\}$, ovvero dalle ipotesi che l'amico sia Baro o Onesto. Indichiamo con $V_n$ l'evento ``vince $n$ volte consecutive''. Supponiamo, per semplificare i conti, che se l'amico è baro vinca sempre ( $P(V_n\,\vert\,B) = 1$), mentre se è onesto vinca secondo le leggi della probabilità, ossia $P(V_n\,\vert\,O) = (1/2)^n$. Applicando la formula di Bayes otteniamo la probabilità dell'ipotesi Baro subordinata alle $n$ vincite:

$$P(B\,\vert\,V_n) = \frac{P(V_n\,\vert\,B)\cdot P_\circ(B)} {P(V_n\,\vert\,B)\cdot P_\circ(B) + P(V_n\,\vert\,O)\cdot P_\circ(O)}$$

$$= \frac{1\cdot P_\circ(B)} {1\cdot P_\circ(B) + \left(\frac{1}{2}\right)^n \cdot P_\circ(O)}\,.$$ (5.20)

Rimane da assegnare la probabilità iniziale $P_\circ(B)$. Chiaramente un estraneo che ci invitasse a giocare d'azzardo si renderebbe immediatamente sospetti e la probabilità iniziale sarebbe ritenuta prossima a 1. Volendo essere generosi, in quanto si tratta pur sempre di un vecchio amico, fissiamo un valore basso, pari al $5\,\%$: $P_\circ(B) = 0.05$, $P_\circ(O) = 0.95$.

La seguente tabella riporta i valori della probabilità in funzione del numero di vittorie consecutive:

$n$	$P(B\,\vert\,V_n)$	$P(O\,\vert\,V_n)$
	(%)	(%)
0	5.0	95.0
1	9.5	90.5
2	17.4	82.6
3	29.4	70.6
4	45.7	54.3
5	62.7	37.3
6	77.1	22.9
...	...	...

Come naturale, all'aumentare del numero di vittorie consecutive, cresce il sospetto che il vecchio amico stia imbrogliando.