Fenomenologia

Il calore scambiato nell'unità di tempo da un termometro con il fluido in cui è immerso è proporzionale alla differenza istantanea di temperatura fra termometro e fluido:

$$dQ = \delta\cdot (T_F-T)\cdot dt,$$ (3)

dove $T$ rappresenta la temperatura istantanea del termometro e $T_F$ quella del fluido (quest'ultima è supposta costante durante le misure). Il fattore di proporzionalità $\delta$ dipende dalla superficie di contatto, dallo spessore della parete di vetro e dalla conducibilità termica del vetro, del mercurio e del fluido. In consequenza dello scambio di calore il termometro subisce una variazione di temperatura proporzionale al calore scambiato e inversamente proporzionale alla sua capacità termica:

$$dT = \frac{dQ}{C}\,,$$ (4)

dove $C$ rappresenta la capacità termica del termometro. Combinando la (1) con la (2) si trova l'equazione differenziale che descrive l'evoluzione nel tempo della temperatura del termometro:

$$C \frac{dT}{dt} = \delta\cdot (T_F-T),$$ (5)

la cui soluzione è:

$$\ln {\frac{T_F-T(t)}{T_F-T_\circ}} = -\frac{t}{\tau},$$ (6)

dove si è chiamato $\tau$ il rapporto $\frac{C}{\delta}$. Dalla (4) segue:

$$T(t) = T_F -(T_F - T_\circ)\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\,,$$ (7)

con $T_\circ$ la temperatura del termometro all'istante $t = 0$ di inizio delle misure (che non è necessariamente l'istante di immersione del termometro nel fluido). Il parametro $\tau$ che interviene in andamenti esponenziali è genericamente chiamato costante di tempo² del termometro e ha il significato fisico di tempo impiegato affiché la differenza fra il valore della grandezza fisica e il suo valore asintotico si riduca di $1/e$. Nel nostro caso esso rappresenta quindi il tempo che occorre al termometro per ridurre di $1/e$ ( $\approx 37\%$) la differenza di temperatura iniziale rispetto al fluido (supposto di capacità termica infinita). Ponendo $t=\tau$ nella (5) si ottiene infatti:

$$T(\tau)-T_F = \frac{1}{e}(T_\circ-T_F)\, .$$ (8)

Poiché la costante di tempo dei termometri in dotazione è piuttosto piccola, risulta difficile misurare l'andamento temporale $T(t)$ con un cronometro manuale. Per verificare la legge (5) è quindi opportuno aumentare artificialmente la costante di tempo coprendo il bulbo del termometro con un cappuccetto di gomma il quale aumenta $C$ e diminuisce $\delta$. Questo vuol dire che la costante di tempo risultante non è quella che si sarebbe voluta misurare, ma quella del termometro modificato. Questo artificio è comunque importante in quanto ci permette di verificare l'andamento esponenziale e quindi, assumendolo valido, ci consente di determinare $\tau$ anche qualora non sia agevole osservare tale l'andamento.

Quindi, per la determinazione di $\tau$ possiamo considerare tre diversi casi:

A:

misura dell'andamento $T(t)$ (valori di $\tau$ da 20-30 secondi a qualche minuto): dal grafico su carta semilog di $T_F-T(t)$ (o di $T(t)-T_F$ qualora $T(t)\ge T_F$) in funzione di $t$ si ricava la costante di tempo dal coefficiente angolare, legato a $\tau$ da $m=-1/\tau$.

B:

valori di $\tau$ inferiori a una decina di secondi: non essendo possibile misurare l'andamento di $T(t)$ con i mezzi a disposizione si determina $\tau$ dal tempo impiegato dal termometro a subire una certa variazione di temperatura e facendo uso della legge (4).

C:

valori di $\tau$ ``molto grandi'' (oltre le decine di minuti), ovvero le misure vengono effettuate in un intervallo di tempo molto minore di $\tau$. Ne segue che l'andamento di $T(t)$ è circa lineare nell'intervallo temporale di interesse, come si può vedere facilmente espandendo $e^{-t/\tau}\approx 1-t/\tau$, se $t\ll \tau$. Ne segue:

$$T(t) = T_\circ + \frac{T_F-T_\circ}{\tau} t \hspace{1.0 cm} (t\ll \tau)\,.$$ (9)

( Sarà questo il caso della costante di tempo che caratterizza la termalizzazione del calorimetro verso l'ambiente esterno.) In questo caso la costante di tempo può essere ricavata graficamente riportando l'andamento $T(t)$ su carta lineare. Si noti che anche in questa misura è importante la conoscenza di $T_F$: la derivata $dT/dt$ non è sufficiente per ottenere la costante di tempo.

E' ovvio che il metodo B può essere utilizzato anche nei casi in cui il risultato può essere ottenuto con metodi grafici nei casi A e C. Si noti comunque che una delle differenza fra il metodo B e gli altri due è che in questo si utilizzano soltanto $T_\circ$ e $T_F$ e un valore intermedio, mentre negli altri metodi si utilizzano molti valori intermedi. I risultati dei metodi A e C saranno - per così dire - più ``stabili'' dell'altro metodo. Quindi, quando si usa il metodo $B$ è opportuno ripetere più volte le misure al fine di ottenere un valore medio che - intuitivamente - dovrebbe essere più stabile di quello ottenuto nella singola misura.