Errore di scala

Per capire il comportamento degli errori di scala, sia sulle ascisse che sulle ordinate, consideriamo due punti sulla retta $P_1=(x_1,y_1)$ e $P_2=(x_2,y_2)$, in corrispondenza del primo e dell'ultimo punto sperimentale. Da questi punti è possibile ricavarsi $m$ e $c$:

$$m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\,,$$ (12.20)

$$c = y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1\,.$$ (12.21)

Consideriamo ora i fattori di scala $f_x$ e $f_y$ che, come al solito, riteniamo essere

$$f_x = 1 \pm \sigma_{f_x}$$

$$f_y = 1 \pm \sigma_{f_y}\,.$$

e inseriamoli esplicitamente nelle espressioni di $m$ e di $c$:

$$m = \frac{f_y(y_2-y_1)}{f_x(x_2-x_1)}$$

$$c = f_yy_1-\frac{f_y(y_2-y_1)}{f_x(x_2-x_1)}f_xx_1 = f_y\left(y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1 \right)\,.$$

Ne concludiamo quindi che

• Il coefficiente angolare risente allo stesso modo dei due fattori di scala:
  

  $$\left.\sigma(m)\right\vert _{f_x} = \vert m\vert\,\sigma_{f_x}$$ (12.22)

  $$\left.\sigma(m)\right\vert _{f_y} = \vert m\vert\,\sigma_{f_y}$$ (12.23)

  
  

• L'errore di scala sulle ascisse è ininfluente sull'intercetta, mentre quello sulle ordinate vi si riflette proporzionalmente:
  

  $$\left.\sigma(c)\right\vert _{f_x} =$$ 0 (12.24)

  $$\left.\sigma(c)\right\vert _{f_y} = \vert c\vert\,\sigma_{f_y}$$ (12.25)

  
  

Come al solito, i vari contributi si combinano quadraticamente.