Valutazioni usuali delle incertezze

Vediamo ora quali sono le tecniche di valutazione delle incertezze (``errori'') usate dalla maggior parte dei laureati in materie scientifiche e tuttora insegnate nelle scuole secondarie superiore e anche all'Università (si noti come alcuni metodi variano leggermente a seconda dell'Università di provenienza; nel seguito si fa riferimento a quello che, grosso modo, rappresenta lo standard romano).

Cominciamo esaminando attentamente la seguente lista di nozioni tipiche. Esse saranno analizzate in dettaglio nei prossimi paragrafi. Questa lista era stata originariamente elaborata per l'introduzione ad una serie di seminari tenuti alla fine del 1996 ad insegnanti dell'AIF e serviva a valutare il background comune.

1. ``Propagazione degli errori massimi'':

   $$\Delta y \approx \left\vert\frac{\partial y}{\partial x_1}\right\... ...a x_1 + \left\vert\frac{\partial y}{\partial x_2}\right\vert\Delta x_2 + \ldots$$ (A.1)

   
   
   ad esempio
   

   $$y=x_1\pm x_2 \Rightarrow \Delta y = \Delta x_1+\Delta x_2$$

   
   

2. ``Propagazione degli errori statistici'':

   $$\sigma^2(y) = \left(\frac{\partial y}{\partial x_1}\right)^2\sigma^2(x_1) + \left(\frac{\partial y}{\partial x_2}\right)^2\sigma^2(x_2) + \ldots$$ (A.2)

   
   
   ad esempio
   

   $$y=x_1\pm x_2 \Rightarrow \sigma(y) = \sqrt{\sigma^2(x_1)+\sigma^2(x_2)}$$

   
   

3. Regola della ``mezza divisione'':

   $$\Delta x = \frac{1}{2} \$$ (A.3)

   
   

4. I punti sperimentali vanno riportati sui grafici sempre con le ``barre di errore''.
5. Rette di massima e di minima pendenza.
6. Avendo eseguito un numero $n$ ``abbastanza grande'' di misure, il risultato va riportato come
   

   $$\mu \stackrel{\bf ?}{=} \overline{x}\pm \sigma$$ (A.4)

   $$\hspace{1.0 cm}$$

   $$\mu \stackrel{\bf ?}{=} \overline{x}\pm\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ (A.5)

   
   
   Inoltre, molto importante:

   che significato si attribuisce a queste due espressioni?

Il risultato del sondaggio (confermato sostanzialmente in altri seminari e corsi di perfezionamento) è stato che:

• i partecipanti conoscevano molto bene questi concetti, con eccezione del punto 2;
• per quanto riguarda il punto 3, alcuni mostravano addirittura una preferenza ad una stima dell'incertenza più conservativa ( $\Delta x = 1$ divisione);
• sulla scelta fra $\pm \sigma$ e $\pm \sigma/\sqrt{n}$, c'era una netta preferenza ad utilizzare come incertezza il valore della deviazione standard delle singole misure anziché dividerlo per $\sqrt{n}$ (``altrimenti diventa troppo piccolo''). Comunque, a parte il numero da mettere nell'espressione, c'era l'unanime consenso che l'espressione stesse a significare ``una certa probabilità che $\mu$ sia compreso nell'intervallo''.