Fisica per Scienze Naturali (Prof. Giulio D'Agostini)

Fisica per Scienze Naturali (2020/2021)
(G. D'Agostini)

Galleria di immagini e link associati

Ne abbiamo fatta di strada...

... e su Mercurio è passato poco più di un anno!
(Domanda di ripasso: come variano velocità e velocità angolare dei pianeti in funzione della distanza dal Sole?)

Uso telemetrico di una macchina fotografica

Sensore: 6.17mm×4.55mm, 4896px×3672px
Focale (vera): 123 mm
Focale equivalente ('35mm', o 'full frame'): 720 mm
Larghezza del cartello: 25.0 cm.

→ Da che distanza è stata scattata la foto?

[Altre impostazioni, irrilevanti per il problema: f/6.4, 1/20 s, ISO 1600.]

Ancora diametri angolari e acutezza visiva ('human visual acuity')
(vedi Wiki)

E, a proposito, ecco un brano tratto da Atomi in famiglia.

Angolo di campo di una 'full frame' (lungo la diagonale!)

(vedi anche Wiki, in particolare gli esempi)

Dragsters

...ovvero come sopportare grandi accelerazioni
(e grandi momenti di forze) senza impennare (ma mantenendo anche una massa ridotta per favorire alti valori di accelerazione).

Fisica del giroscopio

Attenzione: la formula del 'torque' (="momento della quantità di moto") τ
che appare dopo 1:10 è errata, in quanto raggio e forza sono scambiati!]
Versione casereccia ottenuta 'hackerando' un hand spinner

Rotor

Simulatore di semplice acceleratore, selettore di velocità^(*) e separatore di masse ('spettrometro di massa')

^(*) Se campo elettrico e campo magnetico sono ortogonali e opportunamente orientati, esiste una particolare velocità (20.00 m/s nell'animazione) per cui forza elettrica e forza elettrica sono uguali e contrarie: le particelle cariche (esempio ioni) aventi esattamente quella velocità non sono deviate.

Note sulla formula della massa (vari refusi):

B → B' (B è quello del selettore di velocità, diverso da B');
R → r;
Quella che sembra una ν è v (velocità).

Inoltre

i puntini blu rappresentano il campo magnetico uscente;
le frecce rosse nel selettore di velocità indicano il campo elettrico;
il verso di deflessione della figura è per ioni positivi.

Rolling racers

[Cliccare sull'immagine per vedere l'animazione]
Energia potenziale → energia cinetica → di traslazione e di rotazione
→ l'oggetto rotolante con maggior momento di inerzia acquista la minore energia cinetica traslazionale (e quindi minore velocità 'traslazionale')
(la `competizione' sarabbe stata vinta da un punto materiale che scivola senza attrito!)

Aumento di inerzia alle rotazioni dei funamboli mediante lunga pertica

Conservazione del momento della quantità di moto

Pendolo balistico

Urti elastici (→ problema nr 11 della lezione del 18 maggio)

Caso di una massa doppia dell'altra, |v₂|= |v₁|

Masse uguali, con uno dei corpi a riposo (scambio di velocità!)^(*)

Masse uguali, con i due casi di |v₂|= |v₁|/2

[^(*) caso ben noto ai giocatori di biliardo]

Raro tramonto verso nord

[Arcobaleno alle 9:27 del 7 dicembre 2020 - Particolare sul palazzo in costruzione]
Come si fa a capire che la foto è stata scattata (circa) verso nord?

[27/3/2015 18:09; ISO 125, f/4, 1/160 s, “35mm”] Da notare:

sequenze dei colori dell'arcobaleno primario e secondario;
diversa tonalità nelle regioni di cielo delimitate dagli arcobaleni (quella fra i due arcobaleni è chiamata banda di Alessandro).

Simulazione di luce in una goccia d'acqua (solo arcobaleno primario)

Fisica dell'arcobaleno

Altri link:

Dispersione della luce in un prisma simulata con Algodoo

(Si noti come il programma simuli anche riflessioni parziali sulle superfici di separazioni fra i diversi mezzi)

Altri video su youtube

Simulando si impara...

Algodoo ^(*)

Programma per di simulazioni di Fisica (soprattutto sembra valido per l'ottica): Algodoo.
Ad esempio, come primi passi:
1. Installare il programma (vedi qui).
2. Seguire il tutorial proposto all'avvio ("Learn the basics of Algodoo in a minute ", anche se richiede più di un minuto...).
3. Primo breve esempio/tutorial in italiano.
4. Seguire il breve tutorial Algodoo Webinar - Optics and lenses, cercando di riprodurre i comandi;
5. Caricare l'esempio di ottica:
  - File → Load Scene → Official → Optics
  quindi
  - Provare a muovere gli oggetti o ruotare la sorgente luminosa;
  - Cambiare gli indici di rifrazione, ad esempio `trasformando' in diamante il prisma o gli altri oggettti trasparenti (n: 1.5 → 2.4);
  - Aggiungere altri oggetti;
  - Salvare il file con le prove effettuate.

^(*) Da ritenersi facoltativo, ma raccomandato da chi ha tempo e voglia di imparare, indipendentemente dal corso.

Dipendenza dell'indice di rifrazione dalla lunghezza dl'onda

Immagine presa da qui
(con tanti interessanti dettagli quantitativi sull'arcobaleno, che vanno ben al di là di quelli a cui possiamo interessarci nel nostro corso)

Legge di Torricelli (consequenza dell'equazione di Bernoulli)

(Attenzione: la linea tratteggiata non indica l'andamento della velocità con la profondità)

Fluidi in movimento ed Equazione di Bernoulli

[Da Franco Dupré, Lezioni di Fisica, Vol. 2, vedi dettagli delle lezioni per la notazione]

Effetto venturi in azione

(Da wikipedia)

Pressione in un fluido in moto orizzontale

Principio di Pascal in azione

Lavoro in sistemi idraulici 'statici'

→ analogia con leva, sistema di carrucole e piano inclinato.

Urti anelastici

Batteria per autoveicolo

Notare le specifiche riportate:

12 V;
730 A;
75 Ah.

[Per 'V', 'Ah' e 'Wh' (e anche 'W' e 'km/h' massimi) per le bici elettriche vedi ad esempio qui.]

Caratteristiche di condizionatori
(soprattutto per riscaldamento, come discusso in aula)

In particolare (con riferimento al modello 'meno potente'):

al minimo assorbe 170 W di elettricità e ne fornisce 900 di calore (→ 5.3×);
al massimo assorbe 1.4 kW di elettricità e ne fornisce 4.8 di calore (→ 3.4×);
a 'capacità nominale' (che poi sarebbe 'potenza nominale') assorbe 750 W di elettricità e ne fornisce 3200 di calore (→4.3×).

Si noti infine la strana unità di misura 'W/W' per indicare SEER e SCOP che sono 'opportuni rapporti' (quali esattamente?? c'è qualcosa che non torna...) fra potenza fornita o 'sottratta' (entrambe chiamate 'capacità') e potenza assorbita: → 'W/W' è chiaramente inutile, in quanto la grandezza è adimensionale, ma forse serve a ricordare che il valore è ottenuto come un rapporto fra due potenze: booh...

Infine sono ridicole le tre cifre per riportare i 'consumi energetici stagionali', visto che il valore esatto dipende da tanti fattori.
Comunque -- problema -- quanti kg di pellet ci vogliono, approssimativamente, per coprire un fabbisogno energetico di 761 kWh?

Potere calorifico dei vari combustibili
Dettaglio di una busta di pellet.

Per capire la convenienza dei vari combustibili bisogna tener conto del potere calorifico (riportato in MJ/kg, in kWh/kg o in kcal/kg), del prezzo al chilogrammo, del costo dell'impiano, della comodità di esercizio, etc. etc.

Potenza dei ciclisti nello sprint di arrivo (!!)

Diga di Castel Giubileo

Andamento nel tempo della quota della stazione cinese Tiangong

Quanta energia serviva per 'risollevarla' da 350 km a 400 km? (m = 8.5 tonnellate).

Posizioni di Terra, Venere e Mercurio rispetto al Sole in data 11 maggio 2021.

→ Venere e Mercurio sono visibili dopo il tramonto.
Quale dei due pianeti sarà più in alto nel cielo nel momento si cominciano a vedere? (e quale si vedrà prima?)
Quale dei due pianeti tramonta prima?

Rimbalzi regolamentari dei palloni di calcio

→ Uniform rebound test

Tipica utilizzazione di piani inclinati

[Foto da qui]

Giro della morte

Video interessante (finché parla del giro della morte, poi si perde con cose ad effetto che non vengono spiegate) che però non giustifica la ragine per cui la forza centripeta nel punto più in alto debba essere maggiore di mg. Il motivo è perché ci deve essere anche una reazione vincolare della guida, senza la quale viene meno la condizione di contatto.

Energia potenziale, lavoro eseguito dalla forza peso e energia cinetica finale

Mulinello di Joule

[Altre risorse in rete]

Uso della leva per `moltiplicare la forza'

"δός μοι ποῦ στῶ καὶ κινῶ τὴν γήν."

Uso di sistemi di carrucole per `moltiplicare la forza'

[ Da Wikipedia: si notino i rapporti di moltiplicazione e gli spostamenti degli estremi ]

Energia potenziale elettrica

[Curve di energia potenziale a seconda dei segni delle cariche]

Energia potenziale gravitazionale per una massa di 1 kg

(Distanza dal centro della Terra in unità del raggio terrestre)

Azione e reazione rivista alla luce della conservazione della quantità di moto

Formazione di immagine in una fotocamera

Fotocamera: vecchia Nikkormat a rullino ("35 mm", ovvero fotogrammi da 24mm×36mm);
obiettivo: f=50 mm;
la pellicola è stata sostituita con un foglio di carta lucida 'da disegno' di una volta (va bene anche la carta da forno);
il 'filo' in alto a destra è il flessibile, che serve a mantere l'otturatore aperto indefinitivamente.

Dimensioni dei sensori delle fotocamere digitali.(*)

(*) I valori possono differire leggermente fra vari modelli. Cercare le specifiche della fotocamera di interesse.

Antenna sferica e antenna parabolica

(Limite per raggi parassiali del caso sferico)

[Per capire la funzione dello strano oggetto ('soffietto') fra obiettivo e fotocamera si risolvano i punti (d) ed (e) del problema 2. proposto nel par. 25.3 dei Dettagli delle lezioni
(E si capirà anche l'ambientazione della macchina fotografica nella natura.)]

Lenti concave e convesse

Da notare come, oltre ai fenomeni di rifrazione su cui si basa il modello elementare di lente, ci siano riflessioni e rifrazioni di raggi riflessi.
(Se gli obiettivi per fare buone foto non sono tanto economici un motivo ci sarà...)

Dai prismi alle lenti.

Lente convergente e divergente.

Raggi notevoli per la costruzione delle immagini

Nota: Anche nel caso delle lenti, oltre al raggio parallelo e quello (o suo prolungamento) passante per il fuoco, c'è un terzo raggio 'notevole', in questo caso quello passante per il centro (in rosso nella figura e chiamato dagli autori della stessa 'raggio M'). Ma è bene abituarsi ad usare preferibilmente i primi due, che sono di validità più generale e per l'analogia fra specchi e lenti.

Accendino solare

Nota: la forma non è sferica, bensì parabolica → antenne paraboliche.
Nota storica: Specchio ustorio

Uso stradale di specchi convessi

Mano con sfera riflettente (Escher)

Specchio concavo


oggetto oltre il fuoco	oggetto fra specchio e fuoco

Schema qualitativo di immagini reali e virtuali

Si raccomanda di prendere esperienze con immagini reali (ad es. di lampadine) facendo uso di 'specchi concavo' casalinghi, come cucchiai, mestoli e tazze.
→ si dovrebbe vedere l'oggetto riflesso fluttuante nell'aria, fuori dallo specchio.

Specchio piano: schema di formazione dell'immagine

Camera oscura

e sua realizzazione con una scatolina di cartone e carta da forno

(ma ha bisogno di un oggetto fortemente illuminato!)

Tramonto dopo la pioggia

Provare a misurare il rapporto fra diametro del sole verticalmente e orizzontalmente: perché il sole risulta schiacciato?
Per capire l'origine dello schiacciamento si veda l'andamento della rifrazione in funzione dell'angolo a partire dall'orizzonte.
[Altra foto scattata poco dopo. A che distanza è, circa, il gabbiano? E il palazzo?]

Rifrazione astronomica

(Vedi anche Wiki inglese e italiano, in particolare, nella versione inglese, plot della rifrazione in funzione dell'angolo, calcolato "dall'orizzonte": si noti la variazione rapidissima per piccoli angoli e il valore massimo, all'orizzonte, di circa 35' di arco)

Effetto della rifrazione sul sorgere e tramonto di sole e luna

Il sito contiene anche una interessante figura della deviazione della luce in funzione dell'angolo rispetto allo zenit.

Immagine disegnata sulla parete di una bottiglia (→ Tiger)

[ a sinistra bottiglia vuota; a destra riempita con acqua ]
Nota: il pesce si allunga ma non si allarga (→ ingrandimento solo orizzontale): come mai?

Deviazione della luce nel passaggio attraverso una lastra piana

→ Calcolare δ in funzione di α e d.

Classico esempio di rifrazione

Innalzamento apparente del fondo della piscina in funzione della distanza^(*)
[^(*) Maggiore distanza implica maggiore angolo rispetto alla normale]

"Mamma, andiamo dall'altra parte che l'acqua è più bassa!" :-)

`Riflessione' (per così dire) in un prisma retto

Miraggio

Schematizzazione di rifrazione più riflessione totale in un miraggio 'inferiore'

(La densità dell'aria, e quindi l'indice di rifrazione, scende andando verso il basso a causa del riscaldamento del suolo)

Miraggio superiore

Vedi anche

Rifrattometro

Uso pratico in un vigneto

Valutazioni del cervello delle distanze ... e illusioni prospettiche

(Ma, francamente, l'effetto prospettico di 'ingigantire' la statua purtroppo è rovinato dalle aiuole, le quali ridefiniscono le dimensioni e quindi riportano le dimensioni della statua a quelle reali -- dubito che Borromini avrebbe approvato)

Errore di prospettiva (illusione di Ponzo):

Da che distanza dalla base della Minerva è stata scattata questa foto?

(Variante del problema del Cupolone)

Dati

larghetta pollice (a metà unghia): 2.2 cm;
distanza 'occhio'-pollice: 59 cm;
per il terzo dato... arrangiarsi (senza fretta).

Processo di termalizzazione

Script R:

termalizzazione.R
termalizzazione_log.R (attenzione a cosa compare sull'asse delle ordinate!)

Velocità limite nel caso di forza costante + forza di attrito del tipo -βv

Script R: v_resistenza_mezzo_anim.R

Ricorda qualcosa? (anche numericamente)

Oscillazione di un pendolo semplice Moto del pendolo: vettori velocita' (blu) e accelerazione (rosso) in funzione del tempo

Moto del pendolo: forza di gravita' (marrone), del filo (verde) e totale (rosso) in funzione del tempo

Moto del pendolo: componenti tangenziale e normale della forza di gravita'

Cosa rappresentano le varie frecce? È più importante di 'capire' le formule (O, più precisamente, di impararle a memoria...)

Oggetto sospeso a molla, allontanato dal punto di equilbrio
(la tensione dell'elastico ci dà un'idea della forza applicata, e quindi della forza di richiamo della molla).

Resistenza dell'aria

Fisica del paracadutista: video su YouTube con ottima spiegazione dei contributi della forza peso e di quella di resistenza dell'aria (ed inizialmente anche della portanza dell'aereo, per finire con quella del terreno).
Caduta dei gravi in aria e nel vuoto: video su YouTube della classica esperienza dimostrativa della piuma e del pezzettino di ferro.
Caduta di martello e piuma sulla Luna video su YouTube dell'esperimento eseguito dall'equipaggio dell'Apollo 15 (per ulteriori dettagli vedi qui o qui)
Il lancio di Felix Baumgartner
- youtube (riassunto in 90s).
  Esercizio Dagli ultimi secondi del filmato provare a stimare ma velocità di arrivo al suolo.

Come misurare facilmente il coefficiente di attrito statico

Epitaffio di Stevino e visualizzazione grafica delle forze in gioco
(Cosa significa avere idee geniali!)

Mix di piano inclinato (possibilmente con attrito) e carrucola

[Come si può ben capire, la combinazione può dar luogo a una varietà di problemi:
importante aver capito lo schema concettuale da usare, senza (tentare di imparare) a memoria tutta la casistica.]

Riproduzione scolastica del piano inclinato con i campanelli di Galileo Galilei

Forza di attrito statico

Valutare l'ordine di grandezza della forza di attrito statico esercitata su ciascun arto.

[Immagine da qui]

"Cannone di Newton"

[ Dai Principia di Newton ]

Il cosiddetto 'cannone di Newton' è un esperimento concettuale per far capire che le mele che cascano e la luna che gira derivano dalle stessi leggi della Fisica.

Un'animazione a rallentatore (su piccole distanze).
Simulazione interattiva con possibilità di scegliere la velocità iniziale.

Legge di Stefan-Boltzmann

Immagine presa da qui
L'emissività ('e', anche se più spesso indicata con ε) vale 1 per un corpo nero ideale (caso visto a lezione, valido per il Sole), altrimenti è minore di 1.

Spettro di 'corpo nero' a varie temperature (legge di Planck) (immagine presa da qui)

Si noti come λ_max si sposti `verso sinistra' all'aumentare della temperature (legge di Wien).

Simulazione interattiva del corpo nero
(Cliccare sull'immagine per andare sul sito)

Provare a cambiare la temperatura (riaggiustando eventualmente le scale);

provare ad attivare le varie opzioni;

prestare attenzione a come cambiano (qualitativamente), in funzione della temperatura,

l'intensità emessa nel visibile nel visibile;
l'intensità emessa nell'infrarosso;
l'intensità emessa nell'ultravioletto.

Si noti la differenza (in particolare l'unità di misura!) fra Spectral Power Density, riportata nell'asse delle ordinate e Intensity, stampata se si spunta l'omonima opzione.

Due interessanti casi notevoli

(Nota: 300 K^(*) è 'approssimativamente' la temperatura degli oggetti sulla superficie terrestre
e, in particolare, non è 'troppo lontana' da quella del corpo umano)
[(*) Purtroppo la simulazione non permette una scelta arbitraria della temperatura]

Corrispondenza fra lunghezza d'onda e colori.

Spettro elettromagnetico

Passaggio stazione orbitale ISS sabato 3 aprile (meteo permettendo) ^(*)
SATFLARE: sito su cui seguire in diretta la stazione orbitale.

Previsioni del 30 marzo:

Magnitudine -4.6;
Visibilità: 20:44:24-20:49:35
Angolo massimo: 83°

Altri passaggi interessanti: mer 30 (-3.3, 52°); gio 1 (-3.4, 39°); ven 2 (-3.7, 47°).

^(*)Nota: giovedi le previsioni di venerdì e sabato non comparivano più sull'app raccomandata, che poi, invece, giovedi sera ha inviato un segnale di allerta pochi minuti prima del passaggio delle 21:32. Ma continuava a non segnalare il passaggio di sabato sera, che compare invece sul sito della Nasa.

[ Da Wikipedia. Attenzione: i tre 'c' sono numericamente diversi, come si evince dalle diverse pendenze. ]

Per capire la difficoltà pratica per definire una scala ufficiale di temperature vedi la Scala Internazione di Temperature del 1990, e in particolare le tabelle

(Niente a che vedere con metro, chilogrammo e secondo!)


[ stessa v_y0; diverse v_x0 ]	[ stessa v_x0; diverse v_y0 ]

Proiettili lanciati nello stesso istante con stessa velocità in modulo ma diversa angolazione. La traiettoria indicata in rosso corrisponde a 45 gradi.

Evidenza di materia oscura

Nel caso di massa fortemente concentrata al centro della Galassia,
la curva tratteggiata andrebbe come 1/sqrt(R), come visto a lezione.
Nel caso reale, la curva è un po' più complicata, ma asintoticamente come 1/sqrt(R).
I dati sperimentali mostrano indicano invece la presenza di ulteriore massa,
a grandi distanze dal centro della Galassia, che però non trova corrispondenza con la massa 'visibile'.

Candela, lumen^(*) e lux

Figura da prendere cum grano salis perché potrebbe confondere più di quanto chiarisca (scaricata da link che ora dà problemi)
[^(*) In realtà il lumen non indica la quantità di luce ('amount of light'), coe si legge nella figura, bensì il flusso luminoso ('amount of light per unit of time'); la 'quantità di luce' è data invece dai lumen×secondo ('lm×s'), talvolta chiamato talbot (per chi fosse interessato ad approfondire e riesce a decifrare il tedesco, la voce tedesca Lumensekunde sembra più accurata)]

Per una tabella di riferimento dei lux richiesti in diversi ambienti vedi ad esempio qui o qui (NORMA UNI-EN 12464),
dalle quali si evince, dalle misure effettuate con i luxmetri delle app, come l'Aula Pasquini sia scarsamente illuminata (non solo quando ci hanno girato il film!).
L'illuminamento dovuto alla Luna piena è dell'ordine di grandezza del lux, in realtà inferiore a mezzo lux (vedi sul link italiano anche ulteriori chiarimenti sulla differenza fra lux e lumen).
Luce richiesta (in termini di intensità e 'qualità') nelle serre (e dalle piante in generale),

Simpatiche analogie fra flusso luminoso e flusso di acqua e grandezze correlate

Sistema solare 23 marzo 2021 (app Sole, luna e pianeti)

Attenzione: l'immagine a destra ('Tutti i pianeti') non è in scala

Terza legge di Keplero applicata ai pianeti del Sistema Solare (immagine da Wiki)

Riconoscete le curiose scale?
Quindi di che tipo di andamento si tratta?
Sapreste ricavare la legge che lega il semiasse maggiore al periodo?
(Si prendano ad esempio Terra e Saturno, i cui valori sono facilmente rileggibili dal grafico.)

[ Colpo d'occhio su alcuni parametri orbitali (da Wikipedia) − Nota: le orbite reali non sono coplanari!^(*) ]
^(*) Solo i satelliti geostazionari hanno l'orbita sul piano equatoriale,
come mostrato invece nella figura al fine di confrontare i vari parametri.
Le dimensioni della Terra (palesemente vista dal Polo Nord) e delle varie orbite sono in scala(!).
Le quattro scale mostrano i parametri orbitali in funzione della distanza dalla Terra ('Mm' sta per 1000km).

[ Rotazione della Terra e di un satellite geostazionario (da Wikipedia − vedi anche qui) ]

20 marzo, 10:37

Tramonto di luna del 18 marzo:

Si vede ancora la parte 'retroilluminata' dalla Terra.
A che distanza si trova, approssimativamente, il palazzo sotto la luna dal punto dove è stata scattata la foto?
Come mai la luna sembra schiacciata?

Moto circolare uniforme e oscillazione delle coordinate del punto rotante

Rivedere l'animazione come il moto sincrono di

oggetto in ipotetica orbita radente (puntino nero)
oggetti oscillanti dentro due (altrettanto ipotetici) pozzi per il centro della Terra (blu e rosso)

Osservazione della stazione orbitale ISS giovedi 18 marzo

[Video inviato da Luca O.] Per dettagli vedi lezione del 16 marzo

Diametri angolari

[ Ma può essere più utile memorizzare i reciproci degli angoli espressi in radianti! ]
[ E, comunque, le dimensioni angolari variano da persona a persona ]

Diametro angolare (Wiki)
Angular diameter (Wiki inglese) (formula esatta, ma irrilevante per piccoli angoli)
→ Interessante la variazione di angolare per i diversi corpi celesti (si noti Venere!)

E, a proposito, ecco un brano tratto da Atomi in famiglia.

Da quanti chilometri da San Pietro è stata effettuata, approssimativamente, questa foto?^(*)

^(*) da flickr

[ Vedi @dennisstever su Instagram, post del 28/11/2018 ]
Da che distanza è stata effettuata la foto? (ammesso che non sia un montaggio, ma la sostanza non cambia)

Prima osservazione del vuoto (di poco antecedente a quella di Torricelli)

Densimetro ad affondamento

Esperimenti scioglimento ghiaccio
(Erica B.)

Esperimenti 'canotto-incudine-piscina'

1) Monica D.M.

2) Paola L.

2) Luca O.

Emisferi di Magdeburgo

[Video]

Pressione nei fluidi

A sinistra: la pressione dipende solo dalla quota;
A destra: consequenza del Principio di Pascal (da fare!).

Vasi comunicanti

Uso di un tubo a U per la misura della sovrappressione all'interno di un palloncino

[Vedi anche tubo manometrico su Wiki]

Letture raccomandate (senza urgenza)

(Il sottotitolo italiano di Longitudine non rende bene l'idea)

Campo gravitazione (e accelerazione di caduta libera)
in funzione della distanza dal centro della Terra
(sul significato della linea verde tratteggiata torneremo nel seguito)

Nota: sull'ascissa viene riportata l'accelerazione di caduta libera, la quale vale -9.8 m/s² per R=R_T.
Tale variabile può essere anche reinterpretata come

campo gravitazionale (in unità naturali N/kg, formalmente equivalenti a m/s²);
Forza agente su una massa di 1 kg a quella distanza (in tal caso espressa in N).

A proposito del principio di misura:
→ curiosa tazza con indicatore di livello

Funziona grazie a particolare materiale che da nero diventa rosso al di sopra di una certa temperatura:

l'indicazione di livello è fornita solo al di sopra di una certa temperatura minima;
se la temperatura del liquido è molto elevata, per conduzione la tazza si scalderà sufficientemente anche al di sopra del livello del liquido causando una sovrastima del livello.

Attrazione fra un punto materiale di massa m e una sfera omogenea di massa M (da Wiki)

La massa m è attratta da tutti i punti materiali all'interno della sfera di raggio R (e viceversa):
→ ne segue che la forza totale è la stessa che si avrebbe fra due punti materiali di massa M e m posti a distanza r.
(Dettagli del calcolo fuori programma)