Nota sugli esponenziali

• Ricordiamo innanzitutto dei problemi che abbiamo già incontrato
   
  
  1. Termalizzazione: il calore scambiato nell'unità di tempo è proporzionale
     alla differenza di temperatura, con un coefficiente che dipende dalle proprietà
     fisiche e geometriche della superficie di contatto.
     Chiamando t il tempo, T la temperatura istantanea del corpo, T_A la temperatura ambiente,
     θ la differenza fra T e T_A, Q la quantità di calore, C la capacità termica
     (legata al calore specifico c dalla relazione C = c m, ove m è la massa del corpo)
     e η un coefficiente da cui dipende la dispersione termica, abbiamo:
      
     
      
     
  2. Corpo frenato da attrito di viscosità proporzionale alla velocità con coefficiente di proporzionalità β.
     Con i soliti simboli per forza, massa e velocità otteniamo:
      
     
      
  3. Scarica di un condensatore di capacità C su una resistenza R.
     → lezioni precedenti
      
• Problemi aventi la stessa struttura matematica:
  • Aumento/decremento di popolazione (assumendo tasso di crescita/decrescita costante):
    l'incremento di popolazione n nell'unità di tempo è proporzionale al numero di individui
    della popolazione e da una costante ('α'):
    • positiva se le nascite supera il numero di morti;
    • negativa nel caso contrario;
    • nullo nel caso di 'crescita zero').
    Si ottiene quindi
     
       
     
  • Aumento di capitale, dato un tasso di interesse i nel tempo unitario:
    → analogo a crescita di popolazione, con α solo positiva.
     
  • Decadimento di nuclei radioattivi:
    → analogo a crescita di popolazione, con α solo negativa.
     
   

• Cominciamo a vedere cosa succede dopo Δt, dopo 2Δt, etc., partendo dal valore x₀ all'istante t=0:
   
     
   
  
• Si tratta quindi di una progressione geometrica di ragione (1+αΔt),
  maggiore o minore di 1 a seconda del segno di α.
  Dopo un tempo t  =  nΔt si ha quindi
   
     
   
  
• Immaginiamo di 'affettare' ora il tempo t in tantissimi intervallini Δt.
  Al limite, il numero di intervallini diventa 'infinito' e la loro ampiezza 'nulla'.
   
  Si tratta di trovare quindi il limite
   
     
   
  
• Cerchiamo di capire quanto vale questo limite in modo 'pratico', non rigoroso,
  analizzando la seguente tabella compilata con αt=1 e αt=-1.
   
     
   
• Come si può verificare facilmente, il limite converge a e^αt,
  ove e è la costante di Eulero, base dei logaritmi naturali
  (in effetti, vedi bibliografie, una delle definizioni di e è proprio legata a questo limite.
   
• In conclusione, la soluzione cercata è
   
     
   
• Finalmente, sostituendo ad α i parametri dei diversi problemi, abbiamo le diverse soluzioni:
   
     
   
  Nella tabella abbiamo indicato, ove ha interesse, con τ la costante di tempo del processo,
  un parametro che ci indica, in qualche modo, la velocità del processo:
  • minore è τ, più rapido è il processo.
  In particolare, si noti come, nel caso di esponenziali negativi (i primi tre casi),
  per t=τ la grandezza in esame di riduce di 1/e rispetto al valore iniziale,
  ovvero di circa il 37% (si ricorda come θ rappresenta la differenza di temperatura rispetto all'ambiente).
  [Problemino: → nel caso della termalizzazione e del rallentamento si cerchi di dare una giustificazione intuitiva
  delle dipendenze delle costanti di tempo dai parametri del problema.]

• tacchino esponenziale:
  mangia proporzionalmente al suo peso e aumenta di peso esattamente di quanto mangia.

• Costante e di Eulero: vedi qui o qui
  (il secondo link soprattutto per l'equivalenza > fra le due definizioni più note).