Laboratorio di Calcolo (G. D'Agostini)

Soluzioni dei problemi dell'ultima lezione

• Funzione per generare N numeri random uniformi interi (l'estensione a float è banale):
  • n_unif.c
  (Nota: usa random_lib.c, definita a suo tempo, tanto per fare un ripassino...)
   
• Funzione per 'mischiare' gli elementi di un vettore di interi (l'estensione a float è banale):
  • sampleI.c
  (Vale la stessa nota.)
   
• Passare a una function una struttura in un argomento è più o meno equivalente a passare una normale variabile: se ne passa una copia e quindi quello che si fa su di essa all'interno della function non ha influenza sulla struttura della function chiamante:
  • struttura_studenti_4.c
  Diverso è invece il caso se si passa il puntatore alla struttura:
  • struttura_studenti_5.c
  Ma ovviamente si può anche passare l'intero vettore di strutture (equivalente a passare un vettore di interi o di float o altro) e la cosa funziona:
  • struttura_studenti_6.c

Problemi del lunedì

1. Ritorniamo alle figure relative al calcolo delle aree mediante campionamento di punti in un rettangolo (vedi qui e qui). Da esse ci possiamo ispirare per affrontare un problema che apparente ha poco a che fare con il precedente e sul quale torneremo a lezione.
   Per cominciare:
   • per le due funzioni che abbiamo visto (circonferenza del quarto di cerchio e 'funzione strana') si faccia l'istogramma dei valori delle ordinate dei soli punti rossi (ovvero quelli sotto la curva), aumentando eventualmente il numero totale di punti al fine da avere meno fluttuazioni fra 'cellette' vicine dell'istogramma;
   • si provi anche con altre semplici funzioni, come ad esempio f(x)=x e f(x)=x², con x nell'intervallo [0,1].
   Ci poniamo quindi le seguenti domande:
   • che relazione c'è fra la frequenza di punti in ciascuna celletta dell'istogramma e i valori di f(x)?
   • si immaginiamo poi all'estrazione a caso di un altro punto nel rettangolo in cui sono stati estratti gli altri; nell'ipotesi sia 'rosso', ovvero 'sotto' la curva definita da f(x), in quale celletta dobbiamo credere che andrà più facilmente a finire?
   
   
    
   
2. Esempio di soluzione iterativa. Un classico problemino di Fisica elementare è quello del sasso che viene lasciato cadere in un pozzo, si sente il tonfo nell'acqua e, cronometrando il tempo intercorso dall'istante in cui il sasso comincia a cadere a quando si sente il rumore, ci cerca di valutare la profondità del pozzo (ovviamente si assuma che l'orecchio del cronometrista sia molto vicino al punto dal quale è partito il sasso).
   Immaginiamo di aver misurato 3 s e assumiamo 340 m/s per la velocità del suono.
   La soluzione classica passa per la soluzione di una equazione di secondo grado della quale si sceglie la 'soluzione ragiovevole'.^(*)
   La soluzione iterativa consiste nel seguente algoritmo, da implementare in C o in R (o in entrambi):
   • si calcoli la profondità trascurando il ritardo dovuto alla velocità finita del suono;
   • da questo valore di profondità si calcoli il tempo impiegato dal suono ad arrivare dal fondo del pozzo al nostro orecchio;
   • si sottragga questo tempo ai 3 secondi iniziali;
   • si valuti nuovamente la profondità con il nuovo valore di tempo;
   • si continui finché la differenza fra valutazioni successive della profondità non diventi "molto piccola".
   (Se si è scritto il programma in R si grafichi pure l'andamento della profondità in funzione del numero di iterazione).
     [ ^(*) Curiosità sulla soluzione 'standard': di quale problema è soluzione la soluzione spuria?]
    
3. Cammino casuale (e non solo).
   Si immagini un punto che possa assumere posizioni discrete identificate dei numeri intere e che all'istante iniziale si trovi nella posizione indicata da 0.
   • Si lancia una 'moneta' (virtuale, da implementare con un generatore di numeri casuali), quindi: se essa essa dà Testa si avanza verso destra (e si finisce nella posizione '+1'), se invece dà Croce si avanza verso sinistra (e si finisce in '-1');
   • si eseguono n passi, lanciando n volte la 'moneta' e si segna (ovvero si inserisce in un vettore) la posizione di arrivo;
   • ci si 'segna' su un altro vettore anche il numero di volte in cui è uscito Testa;
   • si ricomincia da capo, riposizionando il punto in 0 e si ripete la sequenza di n mosse per N volte.
   • Infine si visualizzano graficamente i risultati.
   In pratica (in R)
   • per la moneta si usi (ad esempio) round(runif(1)):
     • 1 → Testa → destra;
     • 0 → Croce → sinistra;
   • si cominci con n=10 e N=10000 (è poi interessare provare con n=9);
   • per contare il numero di volte in cui si è finiti dopo n mosse in ciascuna delle 2n+1 possibili posizioni si usi table();
   • idem per contare il numero di volte in cui l'evento 'Testa' è uscito, nella sequenza di nlanci, 0 volte, 1 volta, etc., fino a n volte;
   • si visualizzino infine i risultati in due barplot nella stessa finestra grafica.
   
   
4. Curiosità dell'aritmetica modulare, mostrate direttamente con i seguenti comandi R (il link è solo per chi vuole approfondire privatamente; ai fini del corso le righe che seguono sono più che sufficienti):
   • ( m = 21 )
   • ( n = 1:m - 1 )
   • (n + 2) %% m
   • (n + 10) %% m
   • (n + m) %% m
   • ( nr = (n + 7) %% m )
   • (nr - 7) %% m
   • (nr - 9) %% m
   Possiamo applicare queste proprietà per implementare il famoso cifrario di Cesare, seppure, per semplicità, con le 26 lettere dell'alfabeto inglese invece che con le 21 di quello latino:
   • letters[ ( (0:25) + 3 ) %% 25 + 1]
   
   Ecco quindi dei problemi in C
   • Si inizializzi un vettore di interi con i 26 valori da 0 a 25; si scriva quindi una function del tipo
     • void ciclaI (int n, int v[n], int pos)
     che ruoti ciclicamente i valori di 'pos' posizioni (anche negative).
   • Si scriva una function che, dato un carattere indicante una lettera dell'alfabeto (minuscola o maiuscola: si metta un controllo al fine di non agire su altri codici ascii), la ruoti ciclicamente di 'pos' posizioni (pos=3 corrisponde al cifrario di Cesare; pos=-3 alla sua decodifica).
     Primitiva:
     • char cifrarioC (char c, int pos)
   • Si scriva quindi un programma che legga da riga di comando (ovvero facendo uso di argv) un carattere che indichi se si vuol fare la codifica ('c') o la decodifica ('d') seguito dalle parole da criptare/decriptare, ad esempio
     • ./cesare c veni vidi vici
     → il programma stampa quindi le parole codificate, in maiuscolo e senza spazi.
     (Alternativamente, al posto di 'c' o 'd', si può mettere un intero che indichi di quante posizioni ruotare le lettere)