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Distribuzione uniforme discreta

Nel caso dei primi $ n$ interi positivi abbiamo:
E$\displaystyle (X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{x=1}^n \frac{x}{n} = \frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}\,,$ (6.29)

in accordo con quanto ci si poteva attendere intuitivamente. Come già visto a proposito delle funzioni di probabilità anche per previsioni ed incertezze conviene talvolta esplicitare il condizionante del valore atteso, ovvero il tipo di distribuzione di probabilità. Nel nostro caso potremmo scrivere quindi:
E$\displaystyle (X\,\vert\,{\cal K}_{1,n})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n+1}{2}\,.$  

Comunque, come anche già detto a proposito di $ f(x)$, cercheremo di utilizzare semplicemente E$ (X)$ se dal contesto si evince a quale distribuzione ci si riferisce.

Passiamo ora al caso più generale di distribuzione uniforme di passo arbitrario:

E$\displaystyle (X\,\vert\,{\cal K}_{a,b,n})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n}\left[a+(a+\Delta)+(a+2\Delta)+\cdots + (a+(n-1)\,\Delta)\right]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n} \left[n\,a+ \frac{n\,(n-1)}{2}\Delta \right]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}\,,$ (6.30)

altro risultato intuitivo. In entrambi i casi il risultato coincide da quanto ci aspettavamo dal significato di baricentro della distribuzione e con l'intuizione che suggerisce che, se una variabile puà assumere con pari probabilità valori equidistanziati, questi saranno distribuiti intorno al centro dell'intervallo.
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Giulio D'Agostini 2001-04-02