Distribuzione uniforme fra 1 e $n$

$$(X^2) = \sum_{x=1}^n x^2\frac{1}{n} =\frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x^2$$

$$= \frac{1}{n} \left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]$$

$$= \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$\sigma^2(X) = (X^2)- ^2(X)$$

$$= \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$$

$$= \frac{n^2-1}{12}$$ (6.41)

$$\sigma(X) = \frac{\sqrt{n^2-1}} {\sqrt{12}}\xrightarrow[n\gg1]{}>\frac{n}{\sqrt{12}}\,.$$ (6.42)

Quando $n$ è abbastanza grande la deviazione standard vale circa $n/\sqrt{12}$, ovvero circa il 30% della larghezza dell'intervallo. Questo è un risultato che incontreremo di nuovo nel caso di distribuzioni continue.