pzd100 Distribuzione uniforme di $n$ valori fra $a$ e $b$

In questo caso i conti diventano più complessi. È preferibile allora utilizzare le proprietà di valore atteso e varianza sotto trasformazione lineare. Infatti, se consideriamo la distribuzione uniforme del paragrafo precedente, definita fra 1 ed $n$, si vede come si possa ottenere la distribuzione uniforme fra $a$ e $b$ di valori distanziati di $\Delta$, mediante la trasformazione

$$X^\prime =X\cdot\Delta +(a-\Delta)\,.$$

Dalle (6.29), (6.41) e (6.40) segue:

$$(X^\prime) = \frac{n+1}{2} + a -\Delta = \frac{a+b}{2}$$ (6.43)

$$\sigma(X^\prime) = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}\,\Delta$$

$$= \frac{b-a}{\sqrt{12}}\, \sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\xrightarrow[n\gg 1]{}>\frac{b-a}{\sqrt{12}}\,,$$ (6.44)

riottenendo sia il risultato precedente per la media (vedi (6.30)) che, come visto nel caso analogo, una deviazione standard pari a circa al 30% dell'ampiezza dell'intervallo appena $n$ è sensibilmente maggiore di 1.