Distribuzione di Pascal

Abbiamo studiato la distribuzione geometrica, legata al numero aleatorio ``tentativo per il quale si registra il primo successo'', quando si considerano tanti processi di Bernoulli di uguale $p$. Il caso più generale è quello che descrive la distribuzione di probabilità del ``tentativo per il quale si registrano esattamente $k$ successi''. Essa è nota come distribuzione di Pascal. La derivazione è abbastanza semplice:

• negli $x-1$ tentativi precedenti si devono essere verificati $k-1$ successi e $x-k$ insuccessi, indipendentemente dall'ordine. La probabilità di questo evento si ottiene dalla distribuzione binomiale di parametri $n=x-1$ e $p$
  $$f(k-1\,\vert\,{\cal B}_{x-1},p)= \binom{x-1}{k-1} \, p^{k-1}(1-p)^{x-k}\,;$$

• nel tentativo $x$ si deve verificare il successo, con probabilità $p$.

Essendo i due eventi indipendenti, si ottiene la distribuzione di probabilità

$$f(x\,\vert\,{\cal Pa}_{k,p}) = \binom{ x-1}{k-1} p^k(1-p)^{x-k} \hspace{0.4 cm} \left\{ \begin{a... ...p \le 1 \\ k=1,2, \ldots \infty \\ x=k, k+1, \ldots \infty \end{array}\right.$$ (7.10)

Naturalmente, per $k=1$, si riottiene la distribuzione geometrica, ovvero

$$f(x\,\vert\,{\cal P}a_{1,p}) = f(x\,\vert\,{\cal G}_p)\,.$$

Figura: Esempi di distribuzione di Pascal: probabilità che, lanciando una moneta, si ottengano $k=2$, 3 e 5 teste al tentativo $x$.

Diamo direttamente previsione e incertezza di previsione del numero aleatorio, descritto da questa distribuzione:

$$(X) = \frac{k}{p}\,,$$ (7.11)

$$(X) = k\,\frac{q}{p^2}$$ (7.12)

$$\sigma(X) = \sqrt{k}\,\frac{\sqrt{q}}{p} \xrightarrow[\rightarrow 0]{}\sqrt{k}\, \frac{1}{p}$$ (7.13)

$$v = \frac{1}{\sqrt{k\, q}}\xrightarrow[p\rightarrow 0]{}\frac{1} {\sqrt{k}}\,.$$ (7.14)

Come si capisce intuitivamente, la previsione del numero di tentativi per avere $k$ successi è proporzionale al numero di successi richiesto. Quello che è meno intuitivo, ma che risulterà essere una proprietà generale della varianza, è che non è la deviazione standard, bensì la varianza, ad essere proporzionale a $k$. Ne segue che l'incertezza relativa decresce all'aumentare di $k$.