Binomiale negativa

Il problema precedente può essere trattato usando, al posto della variabile $X$ precedente definita la variabile complementare $Y$ ``numero di insuccessi al momento in cui si verificano esattamente $k$ successi'', ovvero

$$Y=X-k\,.$$

La distribuzione di probabilità di $Y$ si ricava direttamente dalla (7.10):

$$f(x\,\vert\,{\cal B}^{-}_{k,p}) = \binom{y+k-1}{k-1}\, p^k(1-p)^{y} \hspace{0.4 cm} \left\{ \begin{... ...p \le 1 \\ k=1,2, \ldots \infty \\ x=k, k+1, \ldots \infty \end{array}\right.$$ (7.15)

Questa distribuzione è chiamata binomiale negativa in quanto è possibile riscrivere la sua espressione in modo da far comparire dei cosidetti coefficienti binomiali negativi, scritti, in generale, come

$$\binom{-n}{r}\,,$$

formalmente analoghi dei normali coefficienti binomiali.

Per calcolare previsione e incertezza di previsione si possono applicare direttamente le proprietà degli operatori E$(\cdot)$ e Var$(\cdot)$ alla trasformazione $Y=X-k$. Ne segue:

$$(Y) = k\,\frac{q}{p}\,,$$ (7.16)

$$(Y) = k\,\frac{q}{p^2}$$ (7.17)

$$\sigma(Y) = \sqrt{k}\,\frac{\sqrt{q}}{p} \xrightarrow[p\rightarrow 0]{}\sqrt{k}\, \frac{1}{p}$$ (7.18)

$$v = \frac{1}{\sqrt{k\, q}}\xrightarrow[p\rightarrow 0]{}\frac{1} {\sqrt{k}}\,.$$ (7.19)

Come ultima osservazione su questa distribuzione, che non avremo più modo di incontrare nel seguito, è che la sua complementarità con la distribuzione di Pascal fa sì che sia possibile utilizzare la binomiale negativa per risolvere dei problemi per la quale sarebbe più naturale utilizzare quella. Inoltre, a volte in alcuni testi è la (7.15) ad essere chiamata anche distribuzione di Pascal. Si presti quindi attenzione.