Introduzione al concetto di correlazione fra variabili casuali

Terminiamo con una breve introduzione su un argomento che tratteremo più in dettaglio nel capitolo ***correlazione***. Fare una previsione di una distribuzione statistica comporta inevitabilmente una trattazione simultanea di molte variabili casuali (le $X_i$ dell'esempio precedente). Abbiamo visto come la valutazione di ciascuno dei valori attesi non richieda nuovi concetti. Si presenta invece un problema nuovo quando vogliamo fare una previsione globale della distribuzione. Ad esempio, mentre riteniamo ragionevole che la variabile $X_i$ cada fra E$(X_i)$ e $\infty$, è impossibile che ciascuna delle variabili sia compresa in quell'intervallo, in quanto implicherebbe che

$$\sum_i X_i > \sum_i (X_i) = \sum_i n\,p_i = n\sum_i\,p_i = n\,,$$

cosa impossibile in quanto la somma di ciascuna delle possibili frequenze deve essere uguale al numero totale di esperimenti. Ciò significa che alcune di queste possono essere valori maggiori delle loro previsioni se sono compensate da altre che assumono valori inferiori. Si dice che queste variabili casuali sono correlate (per ora nel senso che questo termine può significare nel linguaggio comune). Un caso estremo è quando si hanno soltanto due variabili, ad esempio gli esperimenti precedentemente descritti consistano nel lancio di una sola moneta ($m=1$). $X_1$ sarà il numero di teste e $X_0$ il numero di croci. Su $n=1000$ esperimenti ci aspettiamo $500\pm 16$ teste e $500\pm 16$ croci, ma la loro somma non è un numero aleatorio (deve dare con certezza 1000) e quindi le due variabili sono linearmente dipendenti ( $X_1=n-X_\circ$) e completamente anticorrelate.