${\bf\circlearrowright }$ Previsione di una distribuzione statistica

Prendiamo ancora una volta in considerazione un numero aleatorio ai cui valori assegniamo una probabilità secondo la distribuzione binomiale, ad esempio il numero di teste ottenibili dal lancio di $m=5$ monete regolari^7.4. Supponiamo ora di voler ripetere l'esperimento $n=1000$ volte. Il nostro interesse si rivolge ora al numero di volte che osserveremo 0 teste, quello di 1 testa, e così via, fino al numero di 5 teste. Indichiamo ora con $X_i$ il numero aleatorio ``numero di occorrenze di $i$ teste in $n$ esperimenti''. In ciascun esperimento la probabilità di $i$ teste è data dalla binomiale

$${\cal B}_{m=5,\frac{1}{2}}\,,$$

ovvero

$$p_i = P($$``$$i$$ teste''$$) = f(i\,\vert\,{\cal B}_{m=5,\frac{1}{2}})\,.$$

Ne segue che

$$X_i \sim {\cal B}_{n=1000,p_i}\,.$$

Quindi, per ciascun numero di teste, abbiamo una previsione di

$$X_i = p_i\, n \pm \sqrt{p_i\,q_i\, n} \,.$$ (7.35)

Analogalmente, per ciascuna delle frequenze relative $W_i$ abbiamo una previsione di

$$W_i = p_i \pm \frac{\sqrt{p_i\, q_i}}{\sqrt{n}}$$ (7.36)

Poiché le variabili $i$, ciascuna associata al numero di occorrenze (o alla frequenza relativa), riferite ad eventi osservati costituiscono una distribuzione statistica, le (7.37) e (7.38) possono essere interpretate come previsione della distribuzione statistica che potrà essere osservata ripetendo $n$ volte un certo esperimento sotto le stesse ipotesi. La figura 7.6 mostra la previsione della distribuzione statistica appena discussa.

Figura: Previsione della distribuzione statistica del ``numero di teste'' nel lancio di 5 monete ottenibile ripetendo tale esperimento 1000 volte. Le barre rappresentano le incertezze di previsione, quantificate in $\pm$ 1$\sigma$ intorno alla previsione stessa.

Con queste considerazioni comincia l'interessante discorso sulla relazione fra distribuzione statistiche e distribuzioni di probabilità che si presenta sotto due aspetti

• previsione di distribuzione statistiche a partire da distribuzioni di probabilità (il caso appena visto);
• inferenza di una distribuzione di probabilità a partire da una distribuzione statistica (un primo esempio sarà mostrato nel prossimo paragrafo, mentre il discorso sarà affrontato in modo più organico a partire dal capitolo 11).