... dadi^1.1

pzd100Questo approccio è compatibile sia con la corrente di pensiero che crede che la la meccanica quantistica esaurisca la descrizione del mondo fisico sia con quella che protende per le famose ``variabili nascoste'', secondo la visione di Einstein. Questo concetto è stato espresso molto chiaramente già nel 1748 da Hume, il quale, pur credendo che le leggi della natura dovessero essere deterministiche, affermava: ``Per quanto non vi sia nel mondo qualche cosa come il Caso, la nostra ignoranza della causa reale di ogni evento ha la stessa influenza sull'intelletto e genera una simile specie di credenza''

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... semplicit\`a^1.2

Si vedrà come queste postille di subordinazione delle conclusioni scientifiche a conoscenze e ``pregiudizi'' a priori giocano un ruolo fondamentale nei processi di misura e di accettazione di teorie da parte della comunità scientifica.

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... arbitraria^1.3

Ma dopo l'osservazione della prima sequenza mostrata aumenta il sospetto che si tratti di una moneta con due teste, qualora ci siano delle buone ragioni per far sorgere un simile dubbio. Il concetto di probabilità servirà a quantificare il grado di tale sospetto.

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... secolo,^1.4

L'interesse alla stima quantitativa dell'incertezza di misura può essere fatto risalire al lavoro di Laplace e Gauss, all'inizio del 1800.

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... l'aggiornamento^1.5

Ma anche in questo caso si è imparato qualcosa, cioè che il termometro non funziona...

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... falso^1.6

pzd100Questa schematizzazione segue lo schema tradizionale della logica dicotomica, di origine aristotelica e universalmente diffusa, in cui un evento può essere soltanto vero o falso. La descrizione del mondo reale è più complicata e un evento può essere in parte vero in parte falso. Si pensi ad affermazioni del tipo ``persona alta'', ``ragazza carina'', ``uomo sportivo'', o anche ``piove a Roma''. Citando un esempio classico, ``quale sasso è responsabile della transizione da non-mucchio a mucchio?''.

Da alcuni decenni si è sviluppata la cosiddetta fuzzy logic - logica sfumata - che si avvicina meglio di quella tradizionale al modo di classificazione del cervello umano. Nel seguito non ci interesseremo di questo tipo di logica, sia per il carattere introduttivo del corso, sia perché la maggior parte degli eventi dei quali ci occuperemo si prestano abbastanza bene ad una classificazione di tipo dicotomico

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... cultura^1.7

pzd100Si badi bene che le cose cambiano molto se si prendono in considerazione eventi più complicati e che in genere richiedono dei conti anche ad esperti. Così pure - come è ben noto - l'intuizione di molti può essere tratta in inganno quando si chiede quale faccia esce dopo che si sono verificate 5 teste. Quindi bisogna stare attenti a non fare del ``populismo probabilistico''. Come diceva Bruno de Finetti, per conoscere il risultato di una certa operazione aritmetica non lo si chiede alla gente e poi si prende un risultato medio, ma ci si preoccuperà di insegnare loro la matematica.

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... Sufficiente^2.1

Come contrapposizione al principio di ragion sufficiente di Leibnitz, secondo il quale ``nulla accade senza che vi sia ragione perché accada proprio così invece che altrimenti'' (una versione più raffinata del popolare ``non muove foglia che Dio non voglia'').

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... Poincar\'e^2.2

Henry Poincaré, ``Scienza e Ipotesi''

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... futuro^2.3

pzd100Questo processo dell'intelletto umano è descritto molto bene da Hume nel capitolo ``Probabilità'' del suo ``Saggio sull'intelletto umano": ``Essendo costretti dalla consuetudine a trasferire il passato al futuro in tutte le nostre inferenze, quando il passato si è manifestato del tutto regolare e uniforme ci aspettiamo un evento con la massima sicurezza e non lasciamo posto a qualche altra supposizione contraria. ...Sebbene diamo la preferenza a quello che è stato trovato più usuale e crediamo che questo effetto si verificherà, non dobbiamo trascurare gli altri effetti, ma dobbiamo assegnare a ciascuno di essi un particolare peso e autorità in proporzione a come lo abbiamo trovato più o meno frequente''. Francamente, mi sembra fra le cose più sensate dette a giustificazione dell'uso della frequenza di eventi passati come valutazione della probabilità di eventi futuri. Questa semplice constatazione è senz'altro più convincente dei tentativi di far discendere tale prassi dalla ``Legge empirica del Caso'', dal paradossale uso del teorema di Bernoulli a tale scopo (vedi nota nel seguito), o dai macchinosi tentativi di matematizzazione attraverso i ``collettivi'' di von Mises.

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... misurare^2.4

La determinazione dei valori delle costanti fondamentali è soltanto uno dei tanti aspetti della problematica della misura.

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... caso^2.5

pzd100In molti testi il ruolo di anello di congiunzione fra le due ``definizioni'' è affidato al Teorema di Bernoulli, che vedremo nel seguito. Anticipiamo che esso afferma che, al ``crescere del numero di prove, diventa piccola a piacere la probabilità che la frequenza relativa differisca dalla probabilità dell'evento favorevole in ciascuna delle prove''. Preferiamo basarci invece sulle osservazioni empiriche che hanno condotto alla legge empirica del caso sia perché ci sembra più corrispondente al processo storico che per la palese illogicità dell'uso di questo teorema per questo scopo in quanto, come afferma de Finetti (1970), ``non si sfugge al dilemma che la stessa cosa non si può assumere prima per definizione e poi dimostrare come teorema, né alla contraddizione di una definizione che assumerebbe una cosa certa mentre il teorema afferma che è soltanto molto probabile''. Torneremo su queste osservazioni nel momento appropriato.

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... facce^2.6

Qualcuno ha stimato che l'effetto dei forellini sulle facce dei dadi sia tale che le probabilità dei valori da 1 a 6 siano da ritenersi,rispettivamente, 0.155, 0.159, 0.164, 0.169, 0.174, 0.179 (vedi Shafer, 1976).

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... dado^2.7

Per esempio, da misure effettuate da studenti di laboratorio, risulta che il contributo maggiore alla non equiprobabilità delle facce dei dadi è dovuto al fatto che i dadi commerciali non sono cubi perfetti. Ne segue che le faccie opposte che sono più vicine fra loro tendono ad uscire più frequentemente.

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... complemento^2.8

Si ricorda che nei dadi la somma delle facce opposte dà 7.

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... ``ovvia''^2.9

La come è ben noto a chi ha avuto cattive esperienze con compagnie di assicurazioni, quello che sembrava ovvio è contraddetto da una delle clausole scritte a caratteri microscopici nel contratto di assicurazioni. I contratti di assicurazioni, infatti, non sono altro che scommesse su eventi condizionati

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... soggettiva^2.10

R. Scozzafava, ``Probabilità soggettiva - significato, valutazione, applicazioni'', Masson,1997

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...$68\,\%$^2.11

Vedremo che in molti casi questo sarà il modo standard di presentare i risultati

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... lineare^2.12

Questo è la ragione per cui facciamo polizze assicurative con le quali scarichiamo grandi rischi di piccolissima probabilità a chi è più coperto finanziariamente (che siccome non fa di certo scommesse eque ci guadagna nel cautelare i clienti da improbabili rovine).

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... Roulette^2.13

Si ricorda che alla roulette ci sono 37 numeri, 1-36 più lo zero. Dei numeri da 1 a 36 la metà sono rossi e la metà neri (senza un ordine semplice). Lo zero è un numero particolare considerato né pari né dispari, né rosso né nero. Se si gioca puntando sui pari o sui dispari, o sul colore si vince una somma totale che è il doppio della puntata, ovvero la vincita netta è pari alla puntata stessa. Se si punta su un numero singolo si vince globalmente 36 volte la puntata. Sono anche possibili molte altre combinazioni di gioco sulle quali non ci possiamo soffermare. Si ricorda inoltre che esistono al mondo altre versioni di roulette.

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... puntate^2.14

L'estratto semplice è pagato 11.232 volte la puntata, meno il 3%.

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... all'enalotto^2.15

Si ricorda che la colonna vincente dell'enalotto è ottenuta da 12 estrazione di numeri del lotto, assegnando i simboli ``1'', ``X'' e ``2'' a seconda che i numeri usciti siano compresi rispettivamente fra 1 e 30, fra 31 e 60 e fra 61 e 90.

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... logaritmi^3.1

Il simbolo $\log$ indica il logaritmo decimale (a volte si incontra $\log_{10}$). Il logaritmo naturale verrà indicato con $\ln$.

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... scommessa^4.1

Ad esempio, il testo della legge che regola il gioco del lotto specifica: ``Quando le matrici rivelano incompletezza di dati o le scommesse sono state accettate in violazione delle disposizioni dell'articolo 3 o i dati non sono pervenuti al centro di elaborazione, le scommesse si considerano non avvenute e il giocatore escluso dalla partecipazione all'estrazione ha diritto al rimborso dell'importo della scommessa previa esibizione dello scontrino al raccoglitore''.

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... regole^4.2

pzd100Al fine di smitizzare il pur storicamente importante approccio assiomatico preferiamo parlare semplicemente di ``regole'', che ovviamente corrispondono agli assiomi. Gli assiomi 1 e 2 sono spesso presentati nelle forme come $P(E)\ge 0$ e $P(\Omega) = 1$, le quali ovviamente lasciano invariate tutte le proprietà che ne discendono.

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... numero^4.3

pzd100L'estensione dell'unione a infiniti eventi è delicata e controversa, ma inessenziale per la nostra trattazione.

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... numero^4.4

Il simbolo ``$\char93$'' sta per ``numero''.

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... direttamente^4.5

I masochisti possono anche usare la 4.17, che in questo caso è applicabile...

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... quotidiano^4.6

La Repubblica, sabato 11/9/1993.

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... tecniche^4.7

Spesso si incontrano in altre pubblicazioni anche elementi scaramantici, legati all'alternanza dei segni o ai segni precedentemente usciti.

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... come^5.1

Il condizionamento multiplo dell'evento $E$ dalle ipotesi $H_\circ$ e $H$ può essere indicato con $P(E\,\vert\,H_\circ \cap H)$ o più semplicemente con $P(E\,\vert\,H_\circ, H)$. Quando $H_\circ$ è una ipotesi di base e di cui non si ha alcun interesse di effettuare un inversione di probabilità si può scrivere anche $P_{H_\circ}(E\,\vert\,H)$, $P_{H_\circ}(H)$ e $P_{H_\circ}(H\,\vert\,E)$, da cui segue che

$$P_{H_\circ}(H\,\vert\,E)\propto P_{H_\circ}(E\,\vert\,H)\cdot P_{H_\circ}(H)\,,$$ (5.7)

ovvero

$$P(H\,\vert\,E\cap H_\circ) \propto P(E\,\vert\, H\cap H_\circ)\cdot P(H\,\vert\, H_\circ)\,,$$ (5.8)

o anche

$$P(H\,\vert\,E, H_\circ) \propto P(E\,\vert\, H, H_\circ)\cdot P(H\,\vert\, H_\circ)\,,$$ (5.9)

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... calcolarsi^5.2

Si noti che $P(H_1\cup H_2\,\vert\, (H_1\cup H_2)\cap E) = 1$ se $H_1\cup H_2\ne \emptyset$.

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... darebbe^5.3

Si noti che $P(L\,\vert\,\mu)=1$ non implica assolutamente $P(L\,\vert\,\pi)=0$ in quanto esse sono probabilità di $L$ relative a diversi stati di informazione.

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... convenire^5.4

pzd100In realtà non è difficile convincersi che anche in quei casi, di veramente oggettivo, nel senso che le conclusioni seguano necessariamente dalle osservazioni, c'è ben poco. Riprendiamo il caso di $P(\mu\,\vert\,L)\propto P(L\,\vert\,\mu)\cdot P_\circ(\mu)$. Si può immaginare $P_\circ(\mu)$ stimata dalle frequenze relative mediante un rivelatore ``perfetto'', il quale era stato testato precedentemente con un fascio ``puro'' di particelle $\mu$, etc. etc. L'inesistenza nella pratica di tali stati di preparazione sperimentale inficia ogni tentativo di passare in modo univoco dalle osservazioni alle conclusioni. Il motivo per il quale ciononostante tali conclusioni vengono considerate ``oggettive'' è che ``è molto improbabile incontrare una persona ragionevole e con cognizione di causa dei problemi di sperimentazione che non si dichiari d'accordo che quella procedura sia corretta''. Siamo quindi di fronte a un caso di ``intersoggettività assoluta''.

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... iniziale^5.5

Questo si vede bene dalla (5.13). Ad essere precisi, si può ottenere $P(H_i\vert E)=1$ anche quando $P(E\vert\overline{H}_i) = 0$, ovvero quando le osservazioni sono incompatibili con tutte le ipotesi alternative ad $H_i$ prese in considerazione (e non tutte quelle possibili, comprese quelle formulabili nel futuro). Detto in altre parole, in questo caso l'esperimento falsifica tutte le ipotesi complementari formulate fino a quel momento. Quindi una teoria può in effetti assumere un valore ``certezza provvisoria'' se è la sola, fra quelle formulate, in grado di spiegare le osservazioni sperimentali.

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... scientifica^5.6

pzd100 Se ad ogni passo dello sviluppo delle idee scientifiche ci si fosse dovuti attenere solo alle ipotesi certe ...non ci sarebbe stato progresso scientifico, ma una situazione di stallo. La comunità scientifica per fortuna si muove mediamente nella direzione che sembra più credibile, con i successi e gli inevitabili insuccessi che le decisione in stato di incertezza comportano.

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... credo^5.7

Un punto di vista alternativo è quello di rinunciare a dare un valore di realtà alle ipotesi fisiche (e quindi anche ai ``valori veri'' di grandezze fisiche, per quanto detto nel capitolo 1). Questo punto di vista è espresso molto bene da de Finetti:

``E illusorio attribuire a una teoria o a una legge un significato apodittico ma tuttavia esiste chiaramente un significato pragmatico in quanto essa induce ad attendere che certi fatti si svolgano nel modo che noi riteniamo conforme all'idea che di tale teoria o legge ci siamo fatti. La formulazione di una teoria, di una legge, è un anello - in certa misura infido perché metafisico ma tuttavia spesso necessario come tentativo di sintesi semplificativa di cose complesse - del processo mentale per cui passiamo dall'osservazione di fatti passati alla previsione di fatti futuri. In definitiva è solo dei fatti, dei singoli fatti, che ha senso parlare. È ai fatti, che (se sono futuri, e se comunque ne ignoriamo l'esito) possiamo attribuire una probabilità''.

Detto in parole povere, si tratta di convenire se la predittività delle leggi fisiche sia da intendersi rispetto ad osservazioni future o rispetto a intangibili ``valori veri''. Schematizzando nei processi di misura ai quali siamo interessati, questo vorrebbe dire che non ha senso parlare della probabilità che il valore vero di una grandezza fisica sia in un certo intervallo, subordinatamente alle osservazioni sperimentali. Sarebbe rilevante parlare soltanto della probabilità che, in un esperimento futuro, l'indicazione dello strumento cada in un certo intervallo, subordinatamente alle osservazioni precedenti e alla conoscenza delle condizioni di tale esperimento. Anche se questo punto di visto sembra più realista di quello dell'estensione del concetto di evento illustrato nel testo, è innegabile il vantaggio pratico di considerare i valori di grandezze fisiche alla stessa stregua degli eventi reali. Per questo motivo la teoria dell'incertezza di misura che sarà sviluppata nella terza parte del testo si baserà su tale approccio e sull'ipotesi di esistenza di ``valori veri'' di grandezze fisiche.

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... fornitore^5.8

Questo tipo di strumenti, che sembrano una vera assurdità per misure di routine, vogliono essere, ``mutatis mutandis'', una metafora di quanto avviene comunemente nella ricerca avanzata.

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... aleatorio^6.1

Questo è forse il nome che rende meglio l'idea. In questo testo si è preferito utilizzare come nome standard ``variabile casuale'' in quanto è la denominazione più usuale fra i fisici. Esso però rischia di prestarsi ad interpretazione troppo legate ai risultati di esperimenti ripetuti e non, più in generale, allo stato di incertezza. Cercheremo comunque di usare i due termini come sinonimi, insistendo su ``numero aleatorio'', o `numero incerto''..

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... valori^6.2

In altri testi le variabili discrete che assumono valori interi vengono di preferenza indicate con $i$, $j$, $k$ o $n$, mentre la lettera $x$ è usata solo per variabili continue. In questo testo viene generalmente usato lo stesso simbolo $x$ sia per variabili discrete che continue.

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... valori^6.3

Si noti quindi che discreto non significa necessariamente valore intero, anche se questo sarà il caso più frequente nelle applicazioni semplici che tratteremo. Ad esempio, se si associa ad ogni faccia del dado la variabile casuale $X$ = ``radice quadrata del numero impreso sulla faccia'', si ottiene una variabile discreta a valori reali.

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... indicare^6.4

In altri testi si preferisce $p(\cdot)$ a $f(\cdot)$, a ricordare che essa ha il significato di probabilità. Altre volte ancora si trova, ad esempio, $p_k$ al posto di $p(k)$.

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... seguenti^6.5

Dal punto di vista formale, la probabilità, per esempio, di $Z$ è valutata dalla legge delle alternative (cfr. par. 4.9.2):

$$P(Z=z) = \sum_iP(Z=z\,\vert\,e_i)\cdot P(e_i)$$

$$= \sum_{\{Z(e_i)=z\}}P(e_i)\,,$$

ovvero la somma delle probabilità di tutti gli eventi di una classe completa per i quali la variabile $Z$ vale $z$. Il passaggio dalla (6.3) alla (6.3) si basa sul fatto che essendo la regola di costruzione della variabile casuale univoca, $P(Z=z\,\vert\,e_i)$ può valere soltanto 0 o 1.

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... definita^6.6

Ad esempio, nel caso del valore ottenuto nel lancio di un dado, $F(3.5)=P(X\le 3.5) = P(X\le 3) = 0.5$. Anche se a qualcuno potrà sembrare strano che ci si possa interessare di $P(X\le 3.5)$ nel lancio dei dadi è fuori di dubbio l'espressione probabilistica sia corretta, come lo sarebbe $P(X\le 100) = 1$ o $P(X<0)=0$.

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... tipo''^6.7

Ma non è corretto parlare dello stesso evento. Infatti, ogni evento, come affermazione sul verificarsi di un qualche accadimento è unico e irripetibile. Quindi se si lancia 100 volte una moneta si possono considerare gli eventi ``testa al primo lancio'', ``testa all'$i$-mo lancio'', ``nessuna testa nei primi 5 lanci'', eccetera, ma non ``l'evento testa''.

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... che^6.8

pzd100Questa definizione del concetto di incertezza è ottenuta parafrasando la definizione ISO di incertezza di misura (vedi anche paragrafo 2.11.

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... probabilit\`a^6.9

Si noti il diverso uso delle lettere maiuscole e minuscole, consistenti con le definizioni introdotte.

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... aleatori^6.10

pzd100Si noti che la richiesta di previsione nulla in caso di valutazioni coerenti di probabilità è valida soltanto se i numeri casuali hanno il significato di guadagni netti (con segno) associati ad ogni scommessa. Ad esempio, scommettendo alla pari 1000 lire nel lancio di una moneta, la previsione di guadagno è nulla, mentre, associando all'evento testa il valore $X=1$ e all'evento croce $X=0$, la previsione della variabile casuale $X$ è 1/2.

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... evento^6.11

pzd100Questa scelta è motivata dal fatto che il simbolo E$(\cdot)$ è quello più largamente usato nella letteratura scientifica. Tuttavia preferiamo usare il termine ``previsione'' per designarlo, in quanto è quello che rende meglio l'idea del concetto (questo risulterà più chiaro quando ad esso sarà affiancato il concetto di ``incertezza di previsione'').

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... genere^6.12

Un controesempio è $g(X)=X^0$, nota con certezza se $X>0$.

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... uguale^6.13

Si presti attenzione al fatto che, se la funzione non è monotona e sia $y=g(x_i)$, non vuol dire che, in generale, $P(Y=y)=P(X=x_i)$. Infatti, bisogna sommare le probabilità di tutti i valori di $X$ per i quali g(X)=y. Ma questo è un altro argomento e verrà trattato nel capitolo 10. Le formule che seguono sono valide anche nel caso di funzioni non monotone.

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... stessa^6.14

Si noti come si considerino gli scarti previsti e non quelli osservati. Insistiamo nel ripetere che l'incertezza di previsione, così come la probabilità, è un concetto che si applica sui numeri rispetto ai quali si è in stato di incertezza e non ai numeri che si sono verificati. A questi è associato invece il concetto di distribuzione statistica, come già indicato nel paragrafo 6.3.

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... strategia^6.15

Si ricorda che la ragione profonda dell'errore consiste nel ``dimenticare'' - o più propriamente nel rifiutarsi di credere - all'equiprobabilità delle singole prove, espresso anche con l``assenza di memoria'' della distribuzione geometrica (vedi paragrafo 8.12.3).

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... settore^6.16

``Il manuale del lotto'', Mariotti Publishing, Milano, 1996.

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... netto'',^6.17

Con l'aiuto di un tabaccaio, è stato possibile accertarsi che per ogni lira giocata si ricevono 11.235 lire, ovvero si vince 10.235 volte quanto viene puntato.

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... campionaria^6.18

Qualcuno vorrebbe anche separare i concetti mediante i termini media e valore medio, ma mi sembra una battaglia persa, in quanto intuitivamente essi non fanno riferimento a cose diverse.

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... atteso^7.1

In particolare, non è vero che ``il numero di teste tende al numero di croci'', come si sente dire talvolta. Questa affermazione, oltre che essere assolutamente fuorviante quando si pensa ad un effetto di ``recupero'' di un esito sull'altro per ``mantenersi in pari'', è anche errata quando si pensa ad una previsione di piccoli scarti fra i due esiti. Questo discorso sarà ripreso quando si parlerà delle cattive interpretazioni della legge dei grandi numeri.

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... Indichiamo^7.2

Lo si potrebbe anche chiamare $\mu$, avendo esso il significato di valore atteso, e così si trova difatti in alcuni testi. Qui preferiamo dare un simbolo proprio al parametro della poissoniana.

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... distribuzione,^7.3

*** Mettere in nota? ***

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... regolari^7.4

Si faccia attenzione ai diversi simboli per le varie binomiali che entrano in gioco.

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... passato^7.5

Si noti il salto logico rispetto alla semplice valutazione della probabilità dalla frequenza di ciascuna classe di eventi, ovvero, la probabilità di $D=0$, ad esempio, non è valutata dalla frequenza di zero morti nel passato. Quindi, anche se si stanno utilizzando informazioni statistiche la probabilità non è valutata secondo il paradigma frequentista.

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... ``verifica''^7.6

Come dicevamo nel primo capitolo, la natura probabilistica di tali leggi preclude ogni vericabilità oggettiva. Sono i nostri pregiudizi sulla regolarità delle leggi della natura a convincerci che ragionevolmente il processo si sia svolto in quel modo.

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... reggimento^7.7

Si noti l'importanza di considerare un altro reggimento, invece di estrarre a caso uno dei duecento dai quali è stata ricavata la distribuzione statistica. In questo caso la probabilità è data dal numero dei ``casi'' favorevoli (22) diviso il numero dei casi possibili (200) (si pensi all'estrazione di uno dei duecento resoconti dei reggimenti, ciascuno indicante il numero di morti da calcio di cavallo).

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... standard^8.1

I matematici preferiscono considerare come secondo parametro la varianza invece della deviazione standard. Anche se in principio la scelta è equivalente, bisogna fare attenzione ad interpretare correttamente notazioni sintetiche del tipo ${\cal N})50, 100)$. In questo testo utilizziamo la deviazione standard (e quindi la notazione precedente stava a significare $\sigma=100$) in quanto omogenea alla grandezza di interessa e legata al concetto di incertezza standard di previsione.

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... standard^8.2

Come giustificazione intuitiva si pensi che: dovendo essere costante l'area sotto la curva, al diminuire di $\sigma$ deve aumentare il massimo; $f(x)$ ha le dimensioni inverse di $X$ e quindi il suo denominatore deve dipendere linearmente da $\sigma$.

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... ripartizione^8.3

A volte la funzione di ripartizione della normale è indicata con $\Phi(x)$, ovvero:

$$\Phi(x)= F(x\,\vert\,{\cal N})$$

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... come^8.4

Questo integrale è legato alla funzione matematica ``erf($z$)'', il cui nome ricorda ``error function'', definita come

erf$$(z) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z}e^{-t^2}$$d$$t\,,$$

dalla relazione

$$T(z) =\frac{1}{2}$$erf$$\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right) \hspace{1.5cm}(z\ge 0)\,.$$

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...``evento''^8.5

Si faccia attenzione al diverso significato che acquista qui il termine ``evento''. Secondo la prassi scientifica esso è anche utilizzato con l'accezione di ``occorrenza'' (ad esempio, ``l'esperimento ha registrato 1000 eventi di interazione da neutrino''). È opportuno abituarsi a convivere a queste ambiguità di linguaggio, quando dal contesto si evince il significato corretto del termine.

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... nucleoni^8.6

I neutroni hanno una vita media di circa 20 minuti quando sono liberi (ovvero non all'interno di un nucleo) e decadono in protone, elettrone e (anti-)neutrino. Questo è solo modo di decadimento osservato. Altri tipi di processi legati a nuove teorie unificatrici delle forze fondamentali, permetterebbero sia al protone e al neutrone di decadere - anche all'interno dei nuclei - in modi più complessi, ma con vite medie non inferiori a $10^{23}$ volte di quelle supposte in questo eserzio.

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... \`e^9.1

$P(X=x, Y=y)$ sta per $P(X=x\cap Y=y)$. Si ricordi inoltre quanto detto nel capitolo 6 sulla flessibilità dell'uso di simboli.

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... ha^9.2

Chiaramente $f(y)$ e $f(y)$ sono in genere funzioni diverse, anche se entrambe indicate con lo stesso simbolo $f(\cdot)$, cambiando solo la variabile nell'argomento. A volte, per ricordare che si tratta di funzioni diverse, si $f_X(x)$ e $f_Y(y)$. In modo analogo dovremmo indicare $f(x\,\vert\,y)$ con $f_{X\,\vert\,Y}(x\,\vert\,y)$, e così via. Eviteremo questo modo più preciso (e pesante) in quanto non ci sono ragioni per temere ambiguità. Allo stesso modo gli estremi degli integrali saranno omessi a sottintendere che essi si estendono su tutti i possibili valori di $X$:

$$f(x) = \int f(x,y)\,$$d$$y \longleftrightarrow f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,$$d$$y\,.$$

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... adeguata^9.3

Per un altro modo di capire come mai la covarianza definita come (9.16) tenda a comparire nella teoria della probabilità si veda la (10.27) a proposito della somma di variabili casuali.

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... elementari^9.4

Si ricorda che la lettera minuscola di $\Xi$ è $\xi$.

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... piccole^9.5

È da notare che il caso in cui la formula non funziona ($p_i=1$) è quello in cui un solo una sola modalità è certa e le altre sono impossibili e quindi non ha più senso parlare di distribuzione di probabilità

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... integrando^9.6

Per i calcoli si usi l'integrale indefinito:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\exp{\left[bx-\frac{x^2}{a^2}\right]}dx = \sqrt{a^2\pi}\exp{\left[\frac{a^2b^2}{4}\right]}\,.$$

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... inversa^9.7

Si ricorda che $A_{11}^{-1} = A_{22}/\vert{\bf A}\vert$, $A_{22}^{-1} = A_{11}/\vert{\bf A}\vert$, $A_{12}^{-1} = -A_{12}/\vert{\bf A}\vert$ e $A_{21}^{-1} = -A_{12}/\vert{\bf A}\vert$, dove $\vert{\bf A}\vert$ è il determinante della matrice, il quale vale nel nostro caso $(1-\rho^2)/(\sigma_x^2\sigma_y^2)$.

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... valori^10.1

Si noti l'uso della stessa lettera sia per il nome della variabile che per i possibili valori. Quando si passa alle applicazioni può essere più importante usare gli stessi simboli sia per le grandezze che per le possibili realizzazioni. Quindi si raccomanda di abituarsi ad una certa flessibilità.

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... calibrato^10.2

Ritorneremo in dettaglio su tale effetto (vedi paragrafo 11.6) , ma si capisce che, ad esempio, se la misura sottostima $a$ sottostimerà anche $b$.

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... probabilit\`a:^10.3

Dal punto di vista formale, la (10.5) equivale, per variabili a valori interi (ricordiamo che discreto non implica necessariamente intero) a

$$f(z) = \sum_{x,y} \delta_{z,g(x,y)} f(x,y)\,,$$

ove $\delta_{i,j}$ è la delta di Kronecker che vale 1 se $i=j$ e zero altrimenti.

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... diradano^10.4

Si noti che la differenza fra il quadrato di un intero $i$ e quello dell'intero precedente è pari a $2\,i-1$.

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... semplice^10.5

Un modo concettualmente semplice, analogo al caso generale delle variabili discrete, consiste nel ``sommare'' tutti gli infiniti elementi di probabilità che danno luogo allo stesso valore della variabile finale. Quindi, l'estensione al continuo della forma della nota 10.2.1 è

$$f(z) = \int \delta(z-g(x,y)\cdot f(x,y)\,$$d$$x$$d$$y\,,$$

ove $\delta()$ sta per la $\delta$ di Dirac. Chi è familiare con questa ``funzione speciale'' può trovare di agevole impostare i conti in questo modo e, facendo uso delle sue proprietà, ricavare facilmente le formule che incontreremo nel seguito.

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... l'integrale^10.6

Può far comodo, ad un certo punto, l'uso del seguente integrale indefinito:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\left[bx-\frac{x^2}{a^2}\right]\,$$d$$x = \sqrt{a^2\pi}\exp\left[\frac{a^2b^2}{4}\right]\,.$$

Per il resto serve solo molta attenzione nei passaggi.

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... normalmente.^10.7

Facciamo notare come la proprietà 3) del paragrafo 8.14, presentata in anticipo rispetto alle variabili multiple e che riportiamo per comodità

$$3) G_{X+Y}(t) = G_X(t)G_Y(t) \mbox{con $X$\ e $Y$\ indipendenti} \,.$$

segue dal valore atteso di $e^{X+Y}$ sulla funzione congiunta $f(x,y)$, che si riduce a $f(x)f(y)$ in quanto $X$ e $Y$ indipendenti.

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... lineare^10.8

Siccome questa notazione presenta a volte difficoltà di interpretazione, facciamo un esempio nel caso di 2 variabili. La sommatoria $\sum_{ij}$ indica che bisogna considerare le $2\times 2=4$ possibili combinazioni:

$$\{1,1\},\ \{1,2\},\ \{2,1\},\ \{2,2\}\,.$$

Quindi:

$$\sigma_Y^2 = \alpha_1\alpha_1\sigma_{1\,1} + \alpha_1\alpha_2\sigma_{1\,2} + \alpha_2\alpha_1\sigma_{2\,1} + \alpha_2\alpha_2\sigma_{2\,2}$$

$$= \alpha_1^2\sigma_1^2+ \alpha_2^2\sigma_2^2 +2\alpha_1\alpha_2\sigma_{1\,2}\,.$$

(ricordiamo che $\sigma_{2\,1} = \sigma_{1\,2}$).

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... $\{X_i,Y_i\}$^10.9

Le variabili $X_i$ e $Y_j$ con $i\ne j$ non sono invece correlate in quanto, per dirlo in modo semplice, appartengono a diversi esperimenti. Ad esempio, la conoscenza del valore di $X$ della prima prova non modifica il grado di fiducia dei valori di $Y$ che possono accadere nella seconda prova.

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... fraintesa^10.10

Un volta una persona mi confidò: ``non credo al calcolo delle probabilità, perché mi sembra una grande stupidaggine che se un numero non è uscito da molte settimane debba avere più probabilità degli altri di uscire''...

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... probabilit\`a^10.11

Si ricorda che la previsione di una distribuzione statistica è uguale alla distribuzione di probabilità, con una incertezza che decresce con il numero di estrazioni. Per l'uso delle simulazioni per stimare distribuzioni di probabilità si veda il paragrafo 10.5

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... dell'articolo^10.12

Albert Einstein, ``Opere scelte'', Bollati Boringhieri editore, Torino 1988, pag. 136

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... Galton''^10.13

È quello che gli studenti romani chiamano familiarmente ``Pallinometro'', composto da una tavola con chiodi disposti a ``quinconce'' fra i quali scende un pallina. Per averne un'idea, si immagini di ruotare la figura 10.8 di 90 gradi in senso orario, immaginando i puntini come chiodi e il punto 0 il punto di immisione della pallina.

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... `dati'.^11.1

Come discuteremo nel seguito esiste una corrente di pensiero, fortunatamente in declino fra coloro che si occupano dei fondamenti dell'inferenza statistica, ma tuttora in auge per quanto riguarda le applicazioni, la quale nega che si possa parlare di probabilità dei valori veri. Questo è il motivo per cui si sente ancora parlare di ``incertezza dei dati'', una vera assurdità che fa pensare che si può essere in stato di incertezza di fronte al numero letto sul display di uno strumento. L'incertezza è invece sul valore della grandezza che con quello strumento si vuole misurare, ed è compito dell'inferenza statistica esprimere correttamente tale incertezza.

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... misura.^11.2

`Fatto' è fra virgolette perché non c'è nessuna necessità logica che ci obblighi ad adottare tale modello; abbiamo soltanto ottimi argomenti, sia di natura teorica che empirica che ci fanno pensare che molto probabilmente sarà così.

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... semplificazoni^11.3

A parte fattori moltiplicativi, abbiamo

$$f(\mu) \propto \exp\left[-\frac{1}{2}\left( \frac{-2\,\mu\,x\sigma_\circ^2+\mu^2... ...mu_\circ\sigma_e^2+\mu^2\sigma_e^2 } {\sigma_e^2+\sigma_\circ^2} \right)\right]$$

$$= \exp\left[-\frac{1}{2}\left( \frac{\mu^2-2\,\mu\left(\frac{x\,\si... ...} {(\sigma_e^2\cdot \sigma_\circ^2)/(\sigma_e^2+\sigma_\circ^2)} \right)\right]$$

$$= \exp\left[-\frac{1}{2}\left( \frac{\mu^2-2\mu \,\mu_A}{\sigma_A^2} \right)\right]$$

$$\propto \exp\left[-\frac{(\mu-\mu_A)^2}{2\,\sigma_A^2} \right]$$

In particolare, nell'ultimo passaggio abbiamo ``complementato'' l'esponenziale moltiplicando e dividendo per $\exp[-2\,\mu_A^2/\sigma_A^2]$. Normalizzando, otteniamo la 11.7.

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... nome^11.4

Vedi ad esempio F. Sibirani, ``Calcolo delle probabilità'', in Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementari, a cura di L. Berzolati, Hoepli, 1949 (ristampa anastatica 1987), Volume III, parte 2$^a$, pp. 234-236. Le citazioni in latino sono dallo scritto originale di Gauss Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium'' del 1809. Esse sono riportate per mostrare come l'impostazione di questo testo, seppur moderna, se confrontata con la prassi statistica del XX secolo, si rifà al modo di pensare originario sulla probabilità di Gauss, Laplace, Bernoulli etc.

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... vincolo^11.5

Il modo più semplice di usare la condizione di vincolo quello di passare ai differenziali di $\psi$: $\sum_i\psi^\prime(z_i)$   d$z_i=0$ ($a$), con la condizione $\sum_i z_i$ che si riflette in un'analoga condizione sui differenziali: $\sum_i$d$z_i=0$. Affinché ($a$) sia sempre valida, $\psi^\prime(z)$ deve essere costante, da cui segue $\psi(z)\propto z$ e quindi la (11.20).

Un modo più vicino alla dimostrazione originale di Gauss è di pensare al caso in cui $k$ degli $n$ scarti acquistino il valore $a$ e gli altri $(n-k)$ acquistino il valore $b$, con $b=-a\,k/(n-k)$, in virtù degli vincolo della media aritmetica. Abbiamo allora

$$k\,\psi(a)+(n-k)\,\psi(b) = 0 \,$$

da cui

$$\psi(a) = -\frac{n-k}{k}\psi\left(-\frac{k\,a}{n-k}\right)$$

$$\frac{1}{a}\psi(a) = -\frac{n-k}{k\,a}\psi\left(-\frac{k\,a}{n-k}\right) \,.$$

Poichè questa relazione non deve dipendere dal valore di $a$ scelto, e nemmeno da $k$ (nella dimostrazione originale di Gauss viene preso in considerazione soltanto il caso $k=n-1$), la condizione $\frac{\psi(z)}{z}=k$ è assunta universale, e questa porta alla gaussiana.

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... ottenendo^11.6

Ad esempio, utilizzando il seguente integrale:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\!\exp{ \left[b\,x-\frac{x^2}{a^2}\right]}\,\mbox{d}x = \sqrt{a^2\,\pi}\,\exp{\left[\frac{a^2\,b^2}{4}\right]}\,.$$

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... abbiamo:^11.7

L'integrale di interesse è

$$\int_0^\infty \! z^{-n} \exp{\left[-\frac{C}{2\,z^2}\right]} \,$$d$$z = 2^{(n-3)/2}\,\Gamma\left[\frac{1}{2}(n-1)\right] C^{-(n-1)/2}.$$

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... precedente.^11.8

Non è raro sentire o leggere che tale probabilità è del 68%. È chiaro l'errore concettuale che si sta commettendo.

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... sovrappongono^11.9

Questa affermazione vale per le regioni in cui si ammassa il più alto grado di fiducia: avendo assunto un modello gaussiano, in cui le variabili possono assumere valori su tutto l'asse reale, le regioni di certezza (da $-\infty$ a $+\infty$) si sovrappongono sempre!

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... prior^11.10

Soltanto il ``perfetto idiota'' (a trovarlo) è esente da prior. Ma non è la persona giusta a cui rivolgersi per aumentare la nostra conoscenza.

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... generale^11.11

Si veda ad esempio G. D'Agostini, ``sceptiical ..''

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... sono:^12.1

Si riconosce nella (12.11) una distribuzione Beta di parametri $r=x+1$ e $s=n-x+1$ (vedi paragrafo 8.15.1). Questa identificazione sarà usata nel seguito per introdurre la distribuzione Beta come coniugata della binomiale in problemi inferenziali.

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... condition^14.1

The case $r_b=n_c=0$ yields ${\cal R}(r) = e^{-r}$, obtainable starting directly from Eq. (14.9), defining ${\cal R}$, and from Eq. (14.1), giving the likelihood. Also the case $r_b\rightarrow \infty$ has to be evaluated directly from the definition of ${\cal R}$ and from the likelihood, yielding ${\cal R}=1\ \forall\, r$; finally, the case $r_b=0$ and $n_c>0$ makes $r=0$ impossible, thus prompting a claim for discovery - and it no longer makes sense for the ${\cal R}$ function defined above to have that nice asymptotic behaviour in the insensitivity region.

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... must^14.2

It really is a `must' and not a `suggestion'. In fact, although probabilities may depend on individuals (`subjective'), the way they are updated follows from standard logic (yielding Bayes' theorem) and thus is `objective'.

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... needed.^14.3

Note that, although it is important to present prior-free results, at a certain moment a probability assessment about $r$ can be important, for example, in forming one's own idea about the most likely range of $r$, or in taking decisions about planning and financing of future experiments.

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... same^14.4

See comments about the choice of the energy threshold in Section .

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... riduce^15.1

Se si prova a fare i conti con le regole delle matematica elementare si trovano risultati divergenti. In realtà il limite va fatto integrando la funzione per tutti i valori di $\mu_{X_i}$ e quindi fare il limite per $\sigma_{X_i}\rightarrow 0$. Chi è familiare con elementi di matematica avanzata riconosce in tale operazione l'uso della $\delta$ di Dirac (vedi anche prossimo paragrafo).

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... rispettivamente^16.1

Le piccolissime differenze rispetto alle previsioni intuitive di 2.3 e 2.1 V sono dovute alla rozza schematizzazione dell'incertezza, curabili modellizzando meglio il meccanismo di arrotondamento o passando alle variabili continue.

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