Evento condizionato

Abbiamo già introdotto il concetto di probabilità condizionata, intuitivo alla stessa stregua della probabilità in generale. Anzi, abbiamo cercato di mostrare come in realtà la valutazione di probabilità vada sempre intesa come subordinata a qualche informazione, ipotesi, dati sperimentali o pregiudizi estetici (fondamentali questi ultimi nella fisica teorica).

Chiariamo ora meglio il concetto di evento condizionato. $E\,\vert\,H$ è una qualsiasi affermazione rispetto alla quale siamo in stato di incertezza, ma che può essere vera o falsa nell'ipotesi che $H$ sia vera. Nell'ipotesi che $H$ sia falsa l'evento $E\,\vert\,H$ perde di significato. Può essere schematizzata quindi con:

$${\bf E\,\vert\,H \rightarrow} \left\{\! \begin{array}{l} \mbox{{\... ...bf Indeterminato}:\ nessun valore logico se $H$\ \\lq e falso;} \end{array}\right.$$ (4.3)

In termini di scommessa il terzo caso corrisponde ad annullare la scommessa^4.1. Ad esempio, dovendo fare una scommessa su una partita di calcio si può porre la condizione ``se non piove''. Anche lanciando i dadi in giochi di società, si usa talvolta la condizione ``se il dado cade dal tavolo l'esito non è valido e il dado va rilanciato''.

Bisogna fare attenzione a non confondere $E\cap H$ e $E\,\vert\,H$. Consideriamo l'esempio del lancio dei due dadi di figura 4.1. Prendiamo l'evento condizionato ``6 al secondo dado condizionato dal verificarsi di 6 al primo dado''. Sebbene dal punto di vista geometrico, considerando il verificarsi del doppio 6, $B\cap A$ e $B\,\vert\,A$ sembrerebbero la stessa cosa, cambia l'ambiente entro cui tale evento è considerato. Infatti $A\cap B$ è l'intersezione di $A$ e di $B$ riferita allo spazio campionario $\Omega$ costituito dalle 36 possibilità, mentre $B\,\vert\,A$ è sempre l'intersezione dei due, ma riferita allo spazio campionario ridotto $\Omega^*$ costituito da $A$.

Quindi, anche se $E\cap H$ e $E\,\vert\,H$ sono veri simultaneamente (diciamo che sono ``uguali dal punto di vista fisico''), essi differiscono quando siamo in condizione di incertezza, in quanto siamo interessati al verificarsi di $E$ solo nell'ipotesi che $H$ sia vero. Ciò si riflette sulla valutazione della probabilità. In particolare si intuisce come $P(E\,\vert\,H)$ sia maggiore o uguale a $P(E\cap H)$, in quanto l'evento è contemplato all'interno di una classe di ipotesi più ristretta.

Un caso particolare immediato che mostra la diversa valutazione di probabilità nei due casi è

$$P(H\,\vert\,H)=1,$$ (4.4)

valida per qualsiasi evento $H$, qualunque sia il suo valore di probabilità (anche nullo, nel senso chiarito nel paragrafo 2.7).