Regole di base della probabilità - assiomi

Abbiamo incontrato alcune regole a cui la valutazione della probabilità deve soddisfare, derivate dal concetto di scommessa coerente: la probabilità deve essere compresa fra zero e 1; vale 1 per l'evento certo e 0 per quello impossibile; vale la regola di somma per probabilità di eventi incompatibili.

Da queste regole, mediante le proprietà formali degli eventi e degli insiemi è possibile derivare altre proprietà cui la probabilità deve soddisfare. È possibile dimostrare facilmente che queste regole di base sono soddisfatte automaticamente anche dalle valutazioni combinatorie e frequentiste.

Esiste un approccio molto formale alla probabilità in cui le tre regole di base sono assunte come assiomi e le proprietà che ne seguono sono ricavate come teoremi. In questo approccio però la probabilità non è definita come concetto, così come anche l'evento è soltanto un oggetto matematico. In questa teoria la probabilità è semplicemente un numero reale che soddisfi i tre assiomi dati dalle regole^4.2:

Regola 1

(positività): $0 \leq P(E) \leq 1$;

Regola 2

(certezza): $P(\Omega) = 1$, $P(\emptyset)=0$;

Regola 3

(unione): $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1)+P(E_2)$, se $E_1 \cap E_2 = \emptyset\,.$

In particolare, la Regola 3 può essere estesa ad un numero^4.3 $n$ di eventi:

$$P\left(\bigcup_{i=1}^n E_i\right) = \sum_{i=1}^n P(E_i)\,\ \ E_i\cap E_j =\emptyset \ \ \ \forall i\ne j\,.$$ (4.5)

Questa relazione è nota con il nome di teorema delle probabilità totali.

Da queste regole di base seguono alcune relazioni importanti che devono essere sempre soddisfatte dalle valutazioni della probabilità:

Proprietà 1

: $P(E) = 1 - P(\overline E)$.

Proprietà 2

: $P(B) = P(B\cap A) + P(B\cap\overline{A})$. Questa proprietà può essere estesa ad una classe completa di eventi, ottenendo

$$P(B) = P\left(\bigcup_{i=1}^n \left(B\cap E_i\right)\right) = \sum_{i=1}^nP(B\cap E_i)$$ (4.6)

come mostrato anche in figura 4.2, riquadro h).

Proprietà 3

: Se l'evento $A$ implica l'evento $B$, cioè $A\subseteq B$, allora $P(A) \leq P(B)$. In particolare ne segue che

$$P(A\cap B) \le P(A)$$

$$P(A\cap B) \le P(B)$$

$$P(A\cup B) \ge P(A)$$

$$P(A\cup B) \ge P(B)$$

Proprietà 4

: probabilità della somma logica nel caso generale:

$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\,.$$ (4.7)

Ne segue che

$$P(A\cup B) \le P(A)+P(B)\,.$$ (4.8)

Nel caso di tre eventi la proprietà diventa:

$$P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$$

$$-P(A\cap B)-P(A\cap C) -P(B\cap C)$$

$$+ P(A\cap B \cap C)\,,$$ (4.9)

estendibile a $n$ eventi come

$$P\left(\bigcup_{i=1}^n E_i\right) = \sum_{i=1}^n P(E_i) - \sum_{i<j}P(E_i\cap E_j)$$

$$+\sum_{i<j<k} P(E_i\cap E_j\cap E_k) - \cdots$$

$$-(-1)^n P(E_1\cap E_2\cap \cdots \cap E_n)\,.$$ (4.10)

Questa formula è chiamata principio di inclusione-esclusione a causa dell'alternanza dei segni.

Queste proprietà sono abbastanza intuitive e si possono dimostrare facilmente utilizzando i diagrammi di Venn. La 4, in particolare, è molto importante e, nella soluzione dei problemi, dovrebbe essere presa in considerazione prima della Regola 3, che può essere vista come suo sottocaso valido quando $P(A\cap B)=0$. Il motivo per cui si sottrae $P(A\cap B)$ a $(P(A) + P(B))$ è dovuto al fatto che, per dirlo alla buona, altrimenti l'elemento $P(A\cap B)$ verrebbe contato due volte. Si può vedere in un semplice caso legato al gioco delle carte:

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Si consideri un mazzo di carte da gioco italiane con 4 semi e 10 valori per seme. Si vuole calcolare la probabilità di estrarre una Coppe ($C$) o un Asso ($A$). Supponendo l'equiprobabilità (carte ben mischiate), le probabilità di una Coppe o di un Asso sono rispettivamente $P(C) = \frac{1}{4}$, $P(A) = \frac{1}{10}$. È chiaro che se si sommano semplicemente queste probabilità l'Asso di Coppe viene contato due volte ed è per questo che bisogna sottrarre dalla somma la sua probabilità ( $P(A\cap C) = \frac{1}{40}$), ottenendo come risultato $P(A\cup B) = \frac{13}{40}$.