pzd100Dimostrazioni delle proprietà della probabilità

Come esercizio sull'algebra degli eventi dimostriamo le proprietà descritte nel paragrafo precedente (con la stessa numerazione progressiva).

1. $E$ ed $\overline{E}$ sono incompatibili e la loro unione vale $\Omega$. Ne segue:
   

   $$P(E\cup \overline{E}) = P(\Omega) = 1$$

   $$P(E) + P(\overline{E}) = 1\,.$$

   
   

2. Un qualsiasi evento $B$ può essere scritto in generale come

   $$B = B\cap\Omega = B\cap(A\cup\overline{A}) = \left(B\cap A\right) \cup \left(B\cap \overline{A}\right)\,,$$ (4.11)

   
   
   in quanto esso può essere vero sia quando è vero anche $A$ che quando $A$ è falso.

   Poiché $B$ è stato suddiviso in due eventi fra loro incompatibili si ha:

   $$P(B) = P(B\cap A) + P(B\cap \overline{A}).$$ (4.12)

   
   

3. Si riparte dalla (4.11) osservando che, se $A$ implica $B$, quando è vero $A$ è vero anche $A\cap B$. Si ottiene in questo caso:

   $$B = A \cup(B \cap \overline{A})$$ (4.13)

   
   
   (provare a visualizzare con un diagramma di Venn: $B$ à costituito da tutti i punti di $A$ più quelli non di $A$ ma che appartengono a $B$). Essendo $A$ e $(B\cap \overline{A})$ eventi incompatibili si ha
   

   $$P(B) = P(A) + P(B \cap \overline{A}) \ge P(A)\,,$$ (4.14)

   
   
   in quanto $P(B \cap \overline{A})$ è non negativa per la prima regola della probabilità.
4. L'unione logica di due eventi $A$ e $B$ può essere espressa come unione logica di tre eventi fra loro incompatibili:

   $$A\cup B = (A\cap \overline{B}) \cup (\overline{A}\cap B) \cup (A\cap B)\,,$$ (4.15)

   
   
   ossia $A\cup B$ è vero quando è vero soltanto uno di essi oppure sono veri entrambi. Tenendo conto anche della proprietà 2 applicata a ciascuno dei due eventi relativamente all'altro, ossia
   

   $$A = \left(A\cap B\right) \cup \left(A\cap \overline{B}\right)$$

   $$B = \left(B\cap A\right) \cup \left(B\cap \overline{A}\right)\,,$$

   
   
   si ottiene
   

   $$P(A\cup B) = P(A\cap \overline{B}) + P(\overline{A}\cap B)+ P(A\cap B)$$

   $$P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap \overline{B})$$

   $$P(B) = P(B\cap A) + P(B\cap \overline{A})\,.$$

   
   
   Sottraendo membro a membro le ultime due equazioni dalla prima si arriva alla relazione da provare.