Chiavi di lettura del teorema di Bayes

Dei diversi modi di scrivere il teorema di Bayes la formula (5.5) è quella più pratica da usare, anche se a volte è da preferire la (5.3) se $P(E)$ è nota direttamente. Le altre versioni offrono interessanti modi di interpretare il teorema.

• La (5.4) mostra che

  $P(H_i)$ è modificata dall'ipotesi che $E$ sia vera dello stesso fattore dell quale $P(E)$ è modificata dall'ipotesi che $H_i$ sia vera.

  Ad esempio, se stimo che la probabilità che una squadra di calcio vinca un incontro raddoppi qualora venissi a sapere che nel primo tempo è in vantaggio, ne segue che, se so che la squadra ha vinto l'incontro, la probabilità che essa fosse già in vantaggio al primo tempo diventa il doppio di quanto non l'avessi valutata precedentemente.
• La (5.6) rappresenta il modo più semplice e intuitivo di formulare il teorema:

  la probabilità di $H_i$ dato $E$ è proporzionale alla probabilità di $H_i$ per la probabilità di $E$ dato $H_i$.

• Infine la (5.10-5.11) mostra come la probabilità di una certa ipotesi è aggiornata quando cambia lo stato di informazione

  

  (anche indicata come $P_{H_\circ}(H_i)$ o, ancora più succintamente, come $P_\circ(H_i)$) è la probabilità iniziale, o a priori, ovvero la probabilità di $H_i$ condizionata da tutte le ipotesi preliminari $H_\circ$, con esclusione del verificarsi o meno di $E$;

  

  (o semplicemente $P(H_i\,\vert\,E)$) è la probabilitità finale, o a posteriori: è la probabilità di $H_i$ riaggiornata alla luce dell'ipotesi che $E$ sia vero;

  

  (o semplicemente $P(E\,\vert\,H_i)$) è la verosimiglianza, ovvero una misura di quanto è verosimile $E$ alla luce di $H_i$ (o, in termini di causa ed effetto, di quanto facilmente $H_i$ possa produrre $E$). Si noti come anche la verosimiglianza sia valutata subordinatamente allo stato di conoscenza $H_\circ$.

• Infine la (5.14) mostra il riaggiornamento del rapporto delle probabilità (e quindi delle quote di scommessa) subordinatamente all'ipotesi $E$:

  il rapporto delle probabilità viene modificato dal rapporto delle verosimiglianze

  $$\frac{P(E\,\vert\,H_i)}{P(E\,\vert\,\overline{H}_i)}\,,$$ (5.15)

  
  

  denominato fattore di Bayes.

  Questo modo di vedere il teorema è molto pratico quando non ha interesse, o non è pratico, considerare tutte le ipotesi che formano una classe completa. Ad esempio nella ricerca scientifica non ha senso chiedersi la probabilità assoluta di una teoria, ma ha soltanto senso valutarne la credibilità rispetto ad una o più concorrenti. Quindi dalla (5.14) è possibile calcolarsi^5.2

  $$P(H_1\,\vert\,(H_1\cup H_2)\cap E) = \frac{P(E\,\vert\,H_1)\cdot P(H_1)} {P(E\,\vert\,H_1)\cdot P(H_1) + P(E\,\vert\,H_2)\cdot P(H_2)}\,.$$ (5.16)

  
  

Riassumendo, il teorema di Bayes può essere sintetizzato dalla seguente relazione:

$$\propto \times ,$$ probabilità finale

$$\hspace{3.5 cm}$$

$$\propto \times .$$ probabilità a posteriori

Figura 5.4: Relazioni cause-effetti viste in termini di condizionanti e eventi condizionati

Esso permette di affrontare i cosiddetti problemi di probabilità inversa, primo fra tutti i problemi della probabilità delle cause. Infatti si può riformulare a parole dicendo che (vedi figura 5.4):

se ci sono più cause che possono produrre lo stesso effetto, la probabilità che l'effetto osservato sperimentalmente derivi da una delle cause è proporzionale alla probabilità di tale causa per la probabilità che essa produca l'effetto:

$$P( _i\,\vert\, E) \propto P(E \,\vert\, _i)\cdot P_\circ( _i)\,.$$ (5.17)