Valore atteso di una funzione di una variabile casuale

Se $X$ è una variabile casuale, anche la generica funzione $g(X)$ è una variabile casuale, in quanto, se siamo in stato di incertezza rispetto a $X$, siamo in genere^6.12 in stato di incertezza rispetto ad una sua funzione.

Nel caso di variabile discreta, la probabilità che la funzione assuma il valore $g(x_i)$ è uguale^6.13 alla probabilità che $X$ assuma il valore $x_i$, ovvero $f(x_i)$:

$$P(g(X)=g(x_i)) = P(X=x_i) = f(x_i)\,.$$ (6.26)

Ne segue l'espressione del valore atteso di una generica funzione:

$$[g(X)] = \sum_i g(x_i)\, f(x_i)\,.$$ (6.27)

Nel caso semplice di variabile casuale $g(X)$ che dipende linearmente da $X$, ovvero $g(X)=a\,X+b$, si ha il seguente risultato:

$$(a\, X+b) = \sum _i (a\, x_i+b)\, f(x_i)$$

$$= \sum _i a\, x_i\, f(x_i) + b\, \sum _i f(x_i)$$

$$= a\, (X) + b \,,$$ (6.28)

ovvero E$(\cdot)$ si comporta formalmente come un operatore lineare. Nel caso generale invece E$[g(X)]\ne g($E$[X])$.