Previsione (o valore atteso) come baricentro della distribuzione

Abbiamo visto nel paragrafo 2.14 come il concetto di previsione (o speranza matematica, o valore atteso) di guadagno riesca a caratterizzare un problema di decisione (ad esempio un gioco d'azzardo) senza conoscere i dettagli del problema (le regole del gioco). Possiamo estendere questo concetto alle variabili casuali e definire, in analogia della (2.17), la previsione di una variabile casuale come la somma dei valori della variabile casuale moltiplicati per la loro probabilità^6.9:

$$ (X) = \sum_i x_i f(x_i)\, .$$ (6.23)

In effetti, non si tratta soltanto di una analogia formale in quanto anche nel caso della (2.17) si poteva parlare di numeri aleatori^6.10 $S_{N_i}$, ciascuno con il suo grado di fiducia $P(E_i)$. Nel seguito preferiremo indicare la previsione con il simbolo E$(\cdot)$, che ricorda il nome ``valore atteso'' (inglese expected) e che, trattando ora di variabili casuali, non si confonde più con il generico simbolo di evento^6.11:

$$(X) \equiv (X) = \sum_i x_i f(x_i)\, .$$ (6.24)

Per capire meglio il significato di E$(X)$, riscriviamo la (6.24) come

$$(X) = \frac{\sum_i x_i f(x_i)}{\sum_if(x_i)}\,$$ (6.25)

(operazione consentita in quanto $\sum_i f(x_i)=1$), rendendo esplicito il fatto che la previsione di una variabile casuale rappresenta la media pesata dei valori delle variabili casuali, con peso pari alla sua probabilità.

Con una espressione mutuata dalla meccanica, possiamo affermare che E$(X)$ rappresenta il baricentro della distribuzione di probabilità. Si riconosce infatti nella (6.25) la coordinata del centro di massa di un sistema di punti, ciascuno avente una ``massa di probabilità'' $f(x_i)$. Questa constatazione è una ulteriore giustificazione dell'uso di tale definizione per quantificare il valore intorno al quale ci aspettiamo che la variabile casuale assuma il valore. Altre motivazioni che giustificano l'adozione di tale definizione operativa di previsione verranno indicate nel seguito (ad esempio paragrafi 6.5 e 10.7).

Prima di passare alle applicazioni, ricordiamo ancora una volta che il valore atteso non corrisponde, in generale, né al valore più probabile, né a uno dei possibili valori che la variabile casuale può assumere.