Valore atteso e varianza di combinazioni lineari

Sviluppiamo ora il programma illustrato all'inizio di questo capitolo e schematizzato nella (10.3). Calcoliamo quindi il valore atteso di una combinazione lineare di variabili casuali, cominciando dal caso più semplice, quello della somma algebrica:

$$(X\pm Y) = \iint (x\pm y)\, f(x,y)dxdy$$

$$= \iint x\, f(x,y)dxdy \pm \iint y\, f(x,y)dxdy$$

$$= (X)\pm (Y)\,.$$ (10.24)

Nel caso generale

$$(\alpha\, X+\beta\, Y) = \alpha\, (X)+\beta\, (Y)\,.$$ (10.25)

Avendo ottenuto il valore della previsione, interessiamoci all'incertezza di previsione, data dalla deviazione standard. Anche in questo caso cominciamo dalla somma algebrica:

$$(X\pm Y) = \left[\left((X\pm Y)-\mbox{E}(X\pm Y)\right)^2\right]$$

$$= \left[\left(X-\mbox{E}(X)\right) \pm \left(Y-\mbox{E}(Y)\right)^2\right]$$

$$= \left[\left(X-\mbox{E}(X)\right)^2 + \left(Y-\mbox{E}(Y)\right)^2 \right.$$ (10.26)

$$\ \ \ \ \ \ \left. \pm 2\, \left(X-\mbox{E}(X)\right)\, \left(Y-E[Y]\right)\right] \nonumber$$

$$= (X) + (Y) \pm 2\, (X,Y)\, .$$ (10.27)

Nel caso in cui la covarianza si annulla troviamo che la varianza di una somma o differenza di due variabili casuali è uguale alla somma delle varianze.

Utilizando i simboli compatti di $\sigma^2$ per la varianza e $\sigma_{XY}$ per la covarianza, possiamo riscrivere la 10.27 come

$$\sigma^2(X\pm Y) = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 \pm 2\, \sigma_{XY}\, .$$ (10.28)

Nel caso di una somma di $n$ variabili $Y=\sum_iX_i$ otteniamo:

$$(Y) = \sum_i (X_i)$$ (10.29)

$$(Y) = \sum_i (X_i) + \sum_{i\ne j} (X_i,X_j)$$ (10.30)

e, nella notazione simmetrica appena introdotta:

$$\sigma_Y^2 = \sum_{ij}\sigma_{ij}\, ,$$ (10.31)

ove $\sigma_{ii} = \sigma^2_{x_i}$ e $\sigma_{ij} =$   Cov$(x_i,x_j)$. Consideriamo infine una combinazione lineare di due variabili $Y=a\, X_1+b\, X_2+c$:

$$(Y) = \left[\left(aX_1+bX_2+c-\mbox{E}[a\, X_1+b\, X_2+c] \right)^2\right]$$

$$= \left[\left(a\, (X_1-\mbox{E}(X_1))+b\, (X_2-\mbox{E}(X_2))\right)^2\right]$$

$$= a^2\, (X)+b^2\, (X_2)+2\, a\, b\, (X_1,X_2)\, .$$ (10.32)

Questo risultato può essere esteso a un numero qualsiasi di variabili:

$$Y = \sum_i \alpha_i\, X_i$$

$$(Y) = \sum_i \alpha_i\, \, (X_i)$$ (10.33)

$$= \sum_i \alpha_i^2 \, (X_i) + 2\sum_{i< j}\alpha_{i}\, \alpha_{j}\, (X_i,X_j)$$ Var(Y) (10.34)

Possiamo riscrivere in modo più compatto l'espressione della covarianza, osservando innanzitutto che

$$2\sum_{i< j}\alpha_{i}\, \alpha_{j}\,$$   Cov$$(X_i,X_j) = \sum_{i\ne j}\alpha_{i}\, \alpha_{j}\,$$   Cov$$(X_i,X_j)\,,$$

in quanto il fattore 2 è dovuto a considerare sia $i<j$ che $i>j$. Utilizzando inoltre la notazione compatta, questa può essere riscritta come

$$\sum_{i\ne j}\alpha_{i}\, \alpha_{j}\sigma_{ij}\,.$$

Anche i termini dovuti alle varianze possono essere riscritti come

$$\sum_i\alpha_i^2$$Var$$(X_i) = \sum_i\alpha_i\alpha_i\sigma_i^2 = \sum_i\alpha_i\alpha_i\sigma_{ii}\,,$$

ove $\sigma_{ii}$ sta per $\sigma_i^2$. Per concludere, il modo più compatto di scrivere la varianza di una combinazione lineare^10.8è:

$$\sigma_Y^2 = \sum_{ij}\alpha_{i}\, \alpha_{j}\, \sigma_{ij}\,.$$ (10.35)

Vediamo due applicazioni di quanto abbiamo mostrato in questo paragrafo.