Propagazione delle incertezze

La condizione di incertezza su alcune grandezze si riflette in genere su ogni altra grandezza che sia funzione di esse. Ad esempio, immaginiamo di essere interessati all'area ($A$) e al perimetro ($p$) di un rettangolo (idealizzazione del piano di un tavolo), di cui sono stati misurati i due lati ($a$ e $b$). L'inevitabile incertezza sul valore di $a$ e di $b$ (a cui andrebbe aggiunta quella legata al fatto che il quadrilatero potrebbe essere non perfettamente retto) si riflette su $A$ e su $p$. Il termine con cui questo processo è noto è propagazione delle incertezze.

Come sappiamo, i gradi di fiducia sui possibili valori di $a$ e di $b$ sono espressi da $f(a)$ e $f(b)$. Ma, nel caso generale, i valori^10.1di $a$ e di $b$ non sono indipendenti, come può succedere nel caso che i lati siano stati misurati con lo stesso strumento, non perfettamente calibrato^10.2. Quindi, in genere bisognerà considerare la funzione congiunta $f(a,b)$. Per poter quantificare nel modo più generale l'incertezza su area e perimetro, bisogna imparare a valutare $f(A)$ e $f(p)$ partendo da $f(a,b)$ (o da $f(a)$ e $f(b)$ nel caso di indipendenza). In realtà, anche in questo caso, la soluzione più generale al problema si ottiene mediante il calcolo di $f(A,p)$. Infatti ci aspettiamo che $A$ e $p$ abbiano un certo grado di correlazione, in quanto sono calcolate dalle stesse informazioni di partenza. Riepilogando, il problema consiste nel valutare $f(A,p)$ a partire da $f(a,b)$:

$$f(a,b) \Rightarrow f(A,p)\,.$$ (10.1)

Come vedremo, il problema generale può diventare abbastanza complesso dal punto di vista del calcolo. Ci accontenteremo di calcolare soltanto previsione e incertezza di previsione delle varie grandezze e, qualora esistano correlazioni, del loro coefficiente di correlazione. Nella maggior parte dei casi pratici (e ``tranquilli'') queste approssimazioni sono più che ragionevole e vedremo come esse ci permetteranno, sotto certe ipotesi spesso soddisfatte, di effettuare affermazioni probabilistiche sui valori delle grandezza. È comunque importante ricordarsi che, all'occorrenza, bisogna affrontare il problema nel modo più rigoroso, descritto da una generalizzazione della (10.1), che scriviamo con

$$f(x_1, x_2,\ldots, x_n)\xrightarrow[Y_j = Y_j(X_1, X_2,\ldots, X_n)]{}f(y_1, y_2,\ldots, y_m)\,,$$ (10.2)

ove con $Y_j=Y_j(\cdots)$ è indicata la $j$-ma funzione che lega le $n$ $X_i$ alle $m$ $Y_j$. La soluzione minimale che affronteremo nei dettagli sarà invece il solo caso di propagazione di previsione ed incertezza di combinazioni lineari di variabili:

$$\left\{ \begin{array}{l}\mbox{E}(X_i) \\ \sigma(X_i) \\ \rho(X_... ...}{l} \mbox{E}(Y_j) \\ \sigma(Y_j) \\ \rho(Y_j,Y_{j^\prime})\end{array}\right.$$ (10.3)

A questo caso ci ridurremo, previe linearizazioni, nel caso di funzioni qualsiasi (e nei limiti in cui le linearizzazioni siano ragionevoli).

I prossimi paragrafi, dedicati alla valutazione della distribuzione di probabilità di funzioni di variabili casuali, possono essere saltati da chi non è interessato a tale argomento. In tale caso si vada direttamente al paragrafo 10.6.