Riepilogo di alcune proprietà delle funzioni di variabili casuali

Prima di proseguire è opportuno fare brevemente il punto della situazione riguardo le funzioni di variabili casuali. Questo dovrebbe permettere una agevole lettura dei paragrafi che seguono anche a coloro che hanno saltato i paragrafi precedenti.

• Il calcolo della forma della distribuzione di una funzione qualsiasi di variabili casuali è un problema complicato.
• Le applicazioni specifiche che incontremo, legate all'incertezza di misura, non richiedono tale abilità.
• Alcune distribuzioni godono della cosiddetta proprietà riproduttiva rispetto alla somma. In particolare, questo è vero per
  • la binomiale (vedi paragrafo 7.7);
  • la distribuzione di Poisson (ibidem);
  • la normale (vedi punto seguente);
• La distribuzione normale è anche riproduttiva sotto una qualsiasi combinazione lineare:

  se $n$ variabili indipendenti $X_i$ sono distribuite normalmente con E$(X_i)=\mu_i$ e Var$(X_i)=\sigma^2_i$, la variabile casuale $Y=\sum_ic_iX_i$ è ancora distribuita normalmente con E$(Y)=\mu_Y=\sum_ic_i\mu_i$ e Var$(Y)\sum_ic_i^2\sigma^2_i$ (si noti il quadrato dei coefficienti).

• La somma di alcune distribuzioni può dar luogo ad altre distribuzioni notevoli. Il caso più semplice è quello che conduce alla binomiale partendo da tanti processi di Bernoulli indipendenti.
• La tabella 10.3 mostra alcuni esempi notevoli di somma di variabili indipendenti.
  

  Tabella: Distribuzione della somma di variabili casuali indipendenti. Esempi notevoli.

  distribuzione degli addendi	distribuzione della somma
  $n$ Bernoulli, ${\cal B}_p$	binomiale, ${\cal B}_{n,p}$
  binomiale, ${\cal B}_{n_i,p}$	binomiale, ${\cal B}_{\sum_in_i,p}$
  Poisson, ${\cal P}_{\lambda_i}$	Poisson, ${\cal P}_{\sum_i\lambda_i}$
  normale, ${\cal N}(\mu_i,\sigma_i)$	normale, ${\cal N}(\sum \mu_i,(\sum_i\sigma_i^2)^{\frac{1}{2}})$
  $k$ geometriche, ${\cal G}_p$	binomiale negativa, ${\cal B}^-_{k,p}$ (***)
  $k$ esponenziali, ${\cal E}_{r=1/\tau}$	Erlang($k$,$r$) (***)