${\bf\circlearrowright }$Proprietà riproduttiva delle distribuzioni di probabilità binomiale e di Poisson

Una distribuzione di probabilità gode della proprietà riproduttiva rispetto alla somma se una variabile casuale costruita come somma di altre variabili casuali, ognuna delle quali è descritta da una certa distribuzione, obbedisce alla stessa distribuzione. Sia la binomiale che la poissoniana godono di tale proprietà. Più esattamente:

• binomiale: Se $X_1$, $X_2$, ..., $X_m$ sono $m$ variabili casuali indipendenti, ciascuna descritta da una distribuzione di probabilità binomiale di parametri $p$ e $n_i$, la variabile casuale $Y=\sum_iX_i$ segue ancora una distribuzione di probabilità binomiale con parametri $p$ e $n=\sum_i n_i$.
• poissoniana: Se $X_1$, $X_2$, ..., $X_m$ sono $m$ variabili casuali indipendenti, ciascuna descritta da una distribuzione di probabilità di Poisson di parametro $\lambda_i$, la variabile casuale $Y=\sum_iX_i$ segue ancora una distribuzione di Poisson con parametro $\lambda=\sum_i \lambda_i$.

Queste proprietà possono essere dimostrate matematicamente. È più istruttivo dimostrarle invece ragionando sui fenomeni descritti da queste distribuzioni.

Per il caso della binomiale, la proprietà riproduttiva segue dal fatto che ciascuna distribuzione è dovuta a $n_i$ processi di Bernoulli indipendenti. Ne segue che gli $n=\sum_i n_i$ processi di Bernoulli indipendenti e aventi la stessa $p$ danno luogo ad una binomiale di parametri $p$ e $n$.

Ovviamente questo non richiede che i processi di Bernoulli in questione siano legati allo stesso fenomeno.

Per quanto riguarda la distribuzione di Poisson è sufficiente pensare ai conteggi effettuati in un certo intervallo (temporale o spaziale, o entrambi, a seconda dei casi) di osservazione come se fossero dovuti alla somma dei conteggi effettuati in intervalli più piccoli. Se la distribuzione è poissoniana nell'intervallo prescelto a maggior ragione lo sarà per ciascuno degli intervalli in cui è suddiviso e, siccome il valore atteso del numero di conteggi è proporzionale all'ampiezza dell'intervallo, la proprietà riproduttiva è dimostrata per variabili casuali legate allo stesso fenomeno.