pzd100 Formule ricorsive per la distribuzione binomiale e di Poisson

Nel calcolare i valori della distribuzione di probabilità di Poisson può essere utile far uso di una formula ricorsiva al fine di semplificare i calcoli. Infatti

$$f(0\,\vert\,{\cal P}_\lambda) = e^{-\lambda}\,,$$

$$f(1\,\vert\,{\cal P}_\lambda) = \frac{\lambda\, e^{-\lambda}}{1} = \frac{\lambda}{1}\, f(0\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$$

$$f(2\,\vert\,{\cal P}_\lambda) = \frac{\lambda^2\, e^{-\lambda}}{2} = \frac{\lambda}{2}\, f(1\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$$

$$\ldots \ldots$$

$$f(x\,\vert\,{\cal P}_\lambda) = \frac{\lambda}{x}\, f(x-1\,\vert\,{\cal P}_\lambda) \,.$$ (7.9)

Dalla formula ricorsiva si può facilmente vedere che $f(x\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$ è maggiore di $f(x-1\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$ finché $\lambda/x$ è maggiore o uguale dell'unità. Ciò significa che $f(x\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$ ha un massimo in prossimità di $x = \lambda$. Più esattamente, se $\lambda$ è intero il fattore di riaggiornamento della (7.9) è pari a 1 in corrispondenza di $x = \lambda$, ovvero $f(x)=f(x-1)$. Quindi, per $\lambda$ intero, la distribuzione assume il valore massimo in corrispondenza di $x = \lambda$ e di $x=\lambda-1$, come anche mostrato in figura 7.2 e in tabella 7.2.

Nel caso della distribuzione binomiale la formula ricorsiva non è semplice come per la poissoniana, ma può tornare utile, specie con l'ausilio di un computer, per il calcolo di grandi valori di $n$:

$$f(0\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = q^n\,,$$

$$f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = \frac{n-x+1}{x}\, \frac{p}{q}\, f(x-1\,\vert\,{\cal B}_{n,p} )\,.$$