Distribuzione di Poisson

Consideriamo numeri aleatori che seguono distribuzioni binomiali di parametri $p$ e $n$ diversi, ma tali che il prodotto di $p$ per $n$ sia lo stesso, ad esempio $np= 1$. Nella tabella 7.1 sono riportate le distribuzioni di probabilità al variare di $p$ e $n$.

Tabella: Valori della funzione di probabilità di una distribuzione binomiale al variare di $n$ e $p$, con il vincolo $n\,p=1$. Al di sotto di probabilità dello 0.1% è riportato il solo valore minimo (per $x=n$).

$m = n\, p = 1$
$x$	$f(x)$
	${\cal B}_{2,\frac{1}{2}}$	${\cal B}_{4,\frac{1}{4}}$	${\cal B}_{10,\frac{1}{10}}$	${\cal B}_{50,\frac{1}{50}}$	${\cal B}_{1000,\frac{1}{1000}}$	${\cal B}_{10^{6},10^{-6}}$
0	0.25	0.316	0.349	0.364	0.368	0.368
1	0.50	0.422	0.387	0.372	0.368	0.368
2	0.25	0.211	0.194	0.186	0.184	0.184
3		0.047	0.057	0.061	0.061	0.061
4		0.004	0.011	0.015	0.015	0.015
5			0.001	0.003	0.003	0.003
6			...	...	0.001	...
...			...	...	...	...
10			$10^{-10}$	...	...	...
...				...	...	...
50				$\approx 10^{-85}$	...	...
...					...	...
1000					$10^{-3000}$	...
...						...
1000000						$10^{-10^6}$

Si nota innanzitutto che, nonostante $n$ cresca, i valori per i quali la probabilità è ragionevolmente diversa da zero, sono soltanto quelli intorno a qualche unità. Inoltre, la distribuzione sembra stabilizzarsi intorno a valori di probabilità che non dipendono dall'esatto valore di $n$. Se si facesse una seconda tabella con un diverso valore di $\mu$ si troverebbe nuovamente un comportamento asintotico al crescere di $n$, ovviamente non alla stessa distribuzione, visto che il valore atteso è diverso. Quindi al crescere di $n$, la distribuzione sembra dipendere soltanto da $\mu$.

Questa è una proprietà molto interessante, in quanto ci sono fenomeni di interesse che sono descritti da leggi di tipo binomiale, ma con $n$ talmente grande per cui la formula della distribuzione binomiale sarebbe di scarso uso pratico. Per esempio supponiamo di avere un campione di sostanza radioattiva. Il numero di nuclei contenuti può essere dell'ordine di $10^{20}$, mentre la probabilità di osservare un decadimento in un piccolo intervallo di tempo opportunamente scelto può essere dell'ordine di $10^{-20}$. Il valore atteso del numero di decadimenti è $np= 1$, e quindi ci aspettiamo che la funzione di probabilità sia la stessa della tabella.

Oltre al vantaggio computazionale appena descritto, è molto interessante ai fini applicativi che la distribuzione non dipenda dagli esatti valori di $n$ e di $p$, ma solo dal prodotto. Sempre nell'esempio dei decadimenti radioattivi, i dati sperimentali possono suggerire che il valore atteso di decadimenti in quell'intervallo di tempo sia 1. È allora possibile valutare la distribuzione di probabilità senza conoscere né $n$ né $p$, stante la sola ragionevolissima condizione che $n$ sia ``grande''.

Per dimostrare che quanto mostrato nella tabella è una proprietà generale, facciamo il limite della distribuzione binomiale per $n\rightarrow\infty$ e $p\rightarrow 0$, con la condizione che $n\, p$ resti finito e molto minore di $n$. Indichiamo^7.2 il prodotto $n\, p$ con $\lambda$. Riscriviamo la formula della distribuzione binomiale:

$$f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p})= \frac{n!}{(n-x)!\,x!}\, p^x (1-p)^{n-x}\, .$$

Sostituendo a $p$

$$p=\frac{\lambda}{n}$$

si vede che fare il limite $n\rightarrow\infty$ e $p\rightarrow 0$ corrisponde al solo limite $n\rightarrow\infty$, ovvero:

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n!}{(n-x)!\,x!}\cdot \left(\frac{... ...c{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n} {\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^x}\,.$$

Mettendo a fattore i termini non dipendenti da $n$ e riscrivendo il rapporto fra $n!$ e $(n-x)!$ nella sua forma originaria, cioè $n\, (n-1)\,\cdots\, (n-x-1)$ riscriviamo il limite di $f(x)$ come:

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\lambda^x}{x!}\cdot \frac{\overbr... ...bda}} } {\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^x }_{\rightarrow 1} }\,.$$

Notiamo che, per tale limite:

• il numeratore della seconda frazione è uguale a $x$ fattori, ciascuno circa uguale a $n$, in quanto $x\ll n$; esso è quindi uguale al denominatore e si semplifica;
• il numeratore della terza frazione tende, come noto, a $e^{-\lambda}$;
• il denominatore della terza frazione tende a 1.

In conclusione abbiamo:

$$f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p})\xrightarrow[\footnotesize\begin{array}{l} p\rightarrow 0 \\ n\rightarrow \infty \\ n\,p =\lambda\$$   (finito)$$\end{array}]{}\frac{\lambda^x}{x!}\, e^{-\lambda}\,.$$

Otteniamo quindi una distribuzione di probabilità caratterizzata dal solo parametro $\lambda$, numero reale positivo, chiamata distribuzione di Poisson o (poissoniana), che indichiamo nel seguente modo

$$f(x\,\vert\,{\cal P}_\lambda)=\frac{\lambda^x}{x!}\, e^{-\lambda}... ...begin{array}{l} 0 \le x < \infty \\ 0< \lambda < \infty \end{array} \right.\,.$$ (7.8)

Non c'è bisogno di calcolare il valore atteso e la varianza della distribuzione,^7.3 in quanto possono essere ottenute dalla binomiale effettuando il limite per $p\rightarrow 0$. Ne segue:

$$(X) = \lambda$$

$$\sigma^2 = \lambda$$

$$\sigma = \sqrt{\lambda}$$

$$v = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$$

Riportiamo nella tabella 7.2 $f(x\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$ per alcuni valori (piccoli) di $\lambda$. La figura 7.2 mostra alcuni esempi di rappresentazione grafica.

Tabella: Distribuzione di Poisson per alcuni valori di $\lambda$. Gli eventi di massima probabilità sono indicati in grassetto.

$x$	$f(x)$
	${\cal P}_{0.01}$	${\cal P}_{0.1}$	${\cal P}_{0.5}$	${\cal P}_{1}$	${\cal P}_{2}$	${\cal P}_{4}$
0	0.990	0.905	0.607	0.368	0.135	0.018
1	0.010	0.090	0.303	0.368	0.271	0.073
2	$5\cdot 10^{-5}$	0.005	0.076	0.184	0.271	0.147
3	$2\cdot 10^{-7}$	$2\cdot 10^{-4}$	0.013	0.061	0.180	0.195
4	$4\cdot 10^{-10}$	$4\cdot 10^{-6}$	0.002	0.015	0.090	0.195
5	$8\cdot 10^{-13}$	$8\cdot 10^{-13}$	$2\cdot 10^{-4}$	0.003	0.036	0.156
6	$1\cdot 10^{-15}$	$1\cdot 10^{-9}$	$1\cdot 10^{-5}$	$5\cdot 10^{-4}$	0.012	0.104
7	$2\cdot 10^{-18}$	$2\cdot 10^{-11}$	$9\cdot 10^{-7}$	$7\cdot 10^{-5}$	0.003	0.060
8	$2\cdot 10^{-21}$	$2\cdot 10^{-13}$	$6\cdot 10^{-8}$	$9\cdot 10^{-6}$	0.001	0.030
9	$3\cdot 10^{-24}$	$2\cdot 10^{-15}$	$3\cdot 10^{-9}$	$1\cdot 10^{-6}$	$2\cdot 10^{-4}$	0.015
10	$3\cdot 10^{-27}$	$2\cdot 10^{-17}$	$2\cdot 10^{-10}$	$1\cdot 10^{-7}$	$4\cdot 10^{-5}$	0.005
11	$2\cdot 10^{-30}$	$2\cdot 10^{-19}$	$7\cdot 10^{-12}$	$9\cdot 10^{-9}$	$7\cdot 10^{-6}$	0.002

Figura: Esempi di distribuzione di Poisson con $\lambda$ uguale a 0.5, 1, 2, 4, 5, 30 e 75 (le ultime tre sono sovrapposte nel grafico in basso).

Si noti come la probabilità di osservare $X=0$ sia data da $e^{-\lambda}$. Per $\lambda < 1$ essa è chiaramente dominante e diventa trascurabile soltanto per $\lambda$ abbastanza grande. Al crescere di $\lambda$ la distribuzione comincia a diventare simmetrica intorno al valor medio, il quale si avvicina anche al valore di massima probabilità.