${\bf\circlearrowright }$Processo di Poisson - prima parte

La distribuzione di Poisson è stata introdotta nel paragrafo precedente come limite della distribuzione binomiale. Per quanto riguarda l'interpretazione fisica dei parametri $n$ e $p$, suggerita anche dall'esempio sui decadimenti radioattivi, si può pensare che:

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$n$ sia il numero di ``oggetti'' ai quali può succedere qualcosa;

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$p$ sia la probabilità che a ciascuno di quelli eventi succeda ``quella cosa''. Essa è la stessa per tutti gli $n$ oggetti.

Questo punto di vista può essere per alcuni aspetti limitativo, in quanto non sempre è possibile o ha senso tale schematizzazione. Se ad esempio pensiamo alla probabilità che una macchina rossa percorra un tratto di strada in un certo intervallo di tempo, una trattazione secondo la distribuzione di Poisson implicherebbe una precedente schematizzazione in termini binomiali, con $n$ pari al numero di macchine e $p$ la probabilità che ciascuna delle macchine transiti a quell'ora. Ma bisognerà considerare solo le macchine di quella città o ``tutte'' le macchine? E poi anche $p$ varia da macchina a macchina! Volendo si può anche risolvere il problema insistendo a voler riferire $n$ alle macchine e intendendo $p$ una probabilità condizionata dalla sola conoscenza di ``macchina rossa'' (una sorta di $p$ media).

È interessante mostrare lo stesso problema da un altro punto di vista, quello degli atti elementari di osservazione. Questo modo alternativo di ragionare è molto più generale del precedente ed inoltre collega il numero aleatorio ``numero di osservazioni'' al numero aleatorio reale ``tempo fra due osservazioni successive'' (questo secondo aspetto verrà ripreso nel paragrafo )

Consideriamo fenomeni che si manifestano nel tempo o nello spazio e di cui siamo interessanti al numero di occorrenze, indipendentemente dall'ordine. Si parla in generale di misure di conteggio. Esempi tipici sono

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telefonate che arrivano ad un centralino;

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errori di stampa in un libro;

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decadimenti radioattivi in un tempo molto inferiore a quello di dimezzamento;

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numero di globuli bianchi osservati al microscopio in un campo ottico;

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difetti di fabbricazione di un cavo;

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numero di molecole in un piccolo volume di gas;

Ciascuno di questi fenomeni può manifestarsi, indipendentemente dagli altri, in un certo intervallo o elemento molto piccolo, sia esso di tempo, lunghezza, superficie o volume (rispettivamente $\Delta t$, $\Delta l$, $\Delta S$ e $\Delta V$).

Figura: Processo di Poisson nel dominio del tempo. Le crocette indicano gli istanti delle occorrenze delle osservazioni.

Nel seguito, per comodità ma senza perdere di generalità, prenderemo in considerazione problemi nel dominio del tempo (vedi figura 7.3) Interessiamoci quindi al numero di conteggi registrati in un certo intervallo finito di tempo $t$, ovvero il numero aleatorio è definito come $X$ = ``numero di conteggi fra 0 e $t$''. Supponiamo ora che

1. La probabilità che che si verifichi esattamente un conteggio in un intervallino $\Delta t$ sia proporzionale a $\Delta t$:
   $$p = P($$``1 conteggio in $\Delta t$''$$) = r\Delta t\,,$$
   con $r$ costante nell'intervallo finito $t$, in modo tale che $p$ non dipenda dall'intervallino preso in considerazione, ma soltanto dalla sua sola durata;
2. La probabilità che in $\Delta t$ si verifichino più di 1 eventi sia trascurabile in confronto a quella che se ne verifichi esattamente 1;
3. il numero di conteggi in un intervallo finito sia indipendente dal numero di conteggi che si verificano in un altro intervallo, se i due intervalli sono disgiunti.

Queste ipotesi definiscono i cosidetti processi di Poisson.

Consideriamo $n$ intervallini disgiunti, ciascuno di durata $\Delta t$, tali che $t= n \Delta t$, ovvero

$$\Delta t = \frac {t}{n}\,.$$

Quando $n$ tende ad infinito ne segue che $\Delta t \rightarrow 0$ e, di conseguenza, $p\rightarrow 0$. Consideriamo inoltre che:

• in ogni intervallino l'evento ``accade un conteggio'' può essere considerato come un processo di Bernoulli indipendente dagli altri;
• essendo $r$ costante e quindi $p$ costante, gli $n$ processi dei quali ci interessiamo soltanto al numero di successi danno luogo ad una binomiale;
• la condizione $n\rightarrow\infty$ (e consequente $p\rightarrow 0$) rende la binomiale approssimabile da una poissoniana, ovvero
  $$f(x\,\vert\,{\cal B}_{np}) \longrightarrow f(x\,\vert\,{\cal P}_\lambda)\,,$$

con

$$\lambda = n\, p = \frac{t}{\Delta t}\, r\,\Delta t = r\,t\,.$$

Essendo il valore atteso della distribuzione di Poisson uguale a $\lambda$, e quest'ultima pari a $r\, t$, si vede quindi che $r$ ha il significato di numero atteso di conteggi per unità di tempo, ovvero quantifica l'intensità del processo. Il simbolo $r$ dovrebbe ricordare il ``rateo'' (tasso), in inglese ``rate''(e, in una tipica applicazione di tale processo, anche la radioattività).

Come già detto, alcuni problemi possono essere considerati o dal punto di vista degli $n$ oggetti o dal punto di vista degli $n$ atti di osservazione. Consideriamo i due casi per mostrare che il numero aleatorio ``globuli nel sangue osservati al microscopio'' segue una distribuzione di Poisson:

A)

$n_g$:

numero di globuli di una persona;

$p_g$:

probabilità che un certo globulo venga estratto e che si trovi nel campo ottico di quella osservazione.

Essendo $n_g$ molto grande e $p_g$ molto piccolo, ne segue che

$$X\sim {\cal P}_{\lambda_g=p_g\, n_g}\,.$$

B)

$n_V$:

numero di volumetti ( $V/\Delta V$) di cui è costituito il sangue nel campo del microscopio;

$p_V$:

probabilità di trovare un globulo in un volumetto $\Delta V$;

Anche in questo caso $n_V$ è molto grande, in quanto $\Delta V$ può essere pensato dell'ordine di grandezza del globulo stesso. Ne segue che

$$X\sim {\cal P}_{\lambda_V=p_V\, n_V}\,.$$

È da notare come $n$ e $p$ siano diversi nei due casi (e di conseguenza sono stati designati con simboli diversi), ma la distribuzione risultante è la stessa ( $\lambda_g = \lambda_V = \lambda$), in quanto essa dipende soltanto dal valore atteso di conteggi e non da $n$ e da $p$ separatamente.

Terminiamo con due osservazioni, una relativa all'uso della distribuzione di Poisson, l'altra sui cosidetti ``eventi rari''.

Innanzitutto è importante ricordare che gli oggetti da contare debbano apparire indipendentemente uno dall'altro. Per esempio, se alcuni oggetti preferiscono manifestarsi a coppie o a gruppi più numerosi (per esempio i turisti giapponesi su un autobus) non si può applicare la distribuzione di Poisson sui singoli elementi, ma eventualmente sui gruppi, se si crede che essi sono siano loro indipendenti (sicuramente non vale per i gruppi di turisti, schedulati dalle agenzie di viaggio...).

Talvolta la distribuzione di Poisson è chiamata anche ``distribuzione degli eventi rari''. Questo può essere giustificato dal fatto che nell'intervallino dell'atto di elementare osservazione la probabilità è effettivamente bassa (o simmetricamente che sia molto bassa la probabilità che a ciascuno degli oggetti in questione possa succedere qualcosa), oppure perché in molti casi macroscopici la ``rarità'' del fenomeno è richiesta dalla condizione di indipendenza degli eventi (gli affollamenenti creano inevitabilmente delle correlazioni: ad esempio il numero di macchine che transitano per una strada di campagna fra le 10 e le 11 del mattino può essere descritto da un processo di Poisson, ma sicuramente tale schematizzazione non può andare bene per descrivere il traffico urbano nelle ore di punta). Ma queste condizioni non implicano che tutti gli eventi debbano essere ``rari'' su scala umana. Ad esempio un materiale radiattivo potrebbe emettere un milione di particelle al secondo, oppure si può essere interessati al numero di molecole contenute in un cm$^3$ di aria, ottenendo previsioni tutt'altro che piccole pur essendo tali numeri aleatori ben descritti da distribuzioni di Poisson.