Previsione di una media aritmetica di variabili aleatorie analoghe

Una applicazione di particolare interesse della proprietà della varianza è quella relativa alla media aritmetica effettuata $n$ variabili casuali analoghe, aventi tutte la stessa distribuzione e indipendenti l'una dall'altra (ad esempio l'$i$-mo esito di un esperimento condotto in condizioni apparentemente identiche):

$$\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_i X_i$$ (10.41)

$$\left(\overline{X}_n\right) = \frac{1}{n}\, \sum_i (X_i) = \mu$$ (10.42)

$$(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2}\, \sum_i (X_i) = \frac{\mbox{Var}(X)}{n}$$ (10.43)

$$\sigma(\overline{X}_n) = \frac{1}{\sqrt{n}}\, \sigma(X)\,.$$ (10.44)

La media aritmetica ha la stessa previsione della singola variabile, ma un'incertezza $\sqrt{n}$ minore. Questo è un risultato molto importante per quanto riguarda le misure e sarà ripreso nel seguito. Detto alla buona, esso giustifica l'idea intuitiva che il valore ottenuto da una media di molte misure è più affidabile di quello ottenuto da una singola misura. L'espressione di $\sigma(\overline{X}_n)$ fornisce una espressione quantitativa dell'incremento della ``qualità'' della media aritmetica in funzione del numero di prove.