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Proprietà delle distribuzioni di probabilità discrete

La funzione di probabilità $ f(x)$, avendo il significato di probabilità di eventi di una classe completa, deve soddisfare le seguenti condizioni:
$\displaystyle 1)$   $\displaystyle 0 \leq f(x) \leq 1\,;$ (6.3)
$\displaystyle 2)$   $\displaystyle P(X = x_i\,\cup\, X = x_j)= f(x_i)+f(x_j)\,;$ (6.4)
$\displaystyle 3)$   $\displaystyle \sum_i f(x_i) = 1\,.$ (6.5)

(Si faccia attenzione all'uso flessibile degli indici. A volte, per alleggerire la notazione verranno omessi. Altre volte, quando la variabile $ X$ può assumere valori che differiscono fra loro di una unità, verrà utilizzato lo stesso simbolo $ x$ come indice delle sommatorie. Inoltre, gli estremi delle sommatorie sono spesso omessi per indicare che, implicitamente, sono considerati tutti i valori possibili. Ad esempio, la 3) potrebbe essere scritta più sinteticamente come $ \sum_xf(x)=1$.)

La proprietà 2) deriva dal fatto che valori diversi della realizzazione di una variabile casuale sono incompatibili. La condizione 3) è anche chiamata condizione di normalizzazione (si dice che ``la distribuzione di probabilità è normalizzata ad 1''). La somma è da intendersi estesa a tutti i possibili valori che può assumere $ X$.

In alcuni casi può avere interesse trovare la probabilità che la variabile casuale $ X$ assuma un valore uguale o minore di un certo $ x_k$. Si introduce allora il concetto di probabilità cumulativa, descritta dalla funzione di ripartizione $ F(x_k)$:

$\displaystyle F(x_k) \equiv P(X\leq x_k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x_1)+f(x_2)+ ... +f(x_k) = \sum_{x_i\leq x_k} f(x_i) \, .$  
      (6.6)

È comodo poter estendere la somma a tutti i valori reali di $ x$, sottintendendo che, al di fuori del campo di definizione di $ f(x)$, $ F(x)$ è pari al valore che essa assume per $ x_i$ immediatamente inferiore ad $ x$ e per il quale la $ f(x_i)$ sia definita6.6.

La funzione di ripartizione gode delle seguenti proprietà che discendono direttamente dalla definizione:

$\displaystyle 1)$   $\displaystyle 0\le F(x) \le 1$ (6.7)
$\displaystyle 2)$   $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} F(x) = 0$ (6.8)
$\displaystyle 3)$   $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} F(x) = 1$ (6.9)
$\displaystyle 4)$   $\displaystyle F(x_i) - F(x_{i-1}) = f(x_i)$ (6.10)
$\displaystyle 5)$   $\displaystyle \lim_{\epsilon \rightarrow o} F(x+\epsilon) = F(x)$   continuità a destra$\displaystyle ).$ (6.11)

La Fig. 6.3 mostra anche le funzioni di ripartizione delle variabili $ X$ e $ Z$ definite nel paragrafo precedente.

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Giulio D'Agostini 2001-04-02