Proprietà delle distribuzioni di probabilità discrete

La funzione di probabilità $f(x)$, avendo il significato di probabilità di eventi di una classe completa, deve soddisfare le seguenti condizioni:

$$1) 0 \leq f(x) \leq 1\,;$$ (6.3)

$$2) P(X = x_i\,\cup\, X = x_j)= f(x_i)+f(x_j)\,;$$ (6.4)

$$3) \sum_i f(x_i) = 1\,.$$ (6.5)

(Si faccia attenzione all'uso flessibile degli indici. A volte, per alleggerire la notazione verranno omessi. Altre volte, quando la variabile $X$ può assumere valori che differiscono fra loro di una unità, verrà utilizzato lo stesso simbolo $x$ come indice delle sommatorie. Inoltre, gli estremi delle sommatorie sono spesso omessi per indicare che, implicitamente, sono considerati tutti i valori possibili. Ad esempio, la 3) potrebbe essere scritta più sinteticamente come $\sum_xf(x)=1$.)

La proprietà 2) deriva dal fatto che valori diversi della realizzazione di una variabile casuale sono incompatibili. La condizione 3) è anche chiamata condizione di normalizzazione (si dice che ``la distribuzione di probabilità è normalizzata ad 1''). La somma è da intendersi estesa a tutti i possibili valori che può assumere $X$.

In alcuni casi può avere interesse trovare la probabilità che la variabile casuale $X$ assuma un valore uguale o minore di un certo $x_k$. Si introduce allora il concetto di probabilità cumulativa, descritta dalla funzione di ripartizione $F(x_k)$:

$$F(x_k) \equiv P(X\leq x_k) = f(x_1)+f(x_2)+ ... +f(x_k) = \sum_{x_i\leq x_k} f(x_i) \, .$$ (6.6)

È comodo poter estendere la somma a tutti i valori reali di $x$, sottintendendo che, al di fuori del campo di definizione di $f(x)$, $F(x)$ è pari al valore che essa assume per $x_i$ immediatamente inferiore ad $x$ e per il quale la $f(x_i)$ sia definita^6.6.

La funzione di ripartizione gode delle seguenti proprietà che discendono direttamente dalla definizione:

$$1) 0\le F(x) \le 1$$ (6.7)

$$2) \lim_{x\rightarrow -\infty} F(x) = 0$$ (6.8)

$$3) \lim_{x\rightarrow +\infty} F(x) = 1$$ (6.9)

$$4) F(x_i) - F(x_{i-1}) = f(x_i)$$ (6.10)

$$5) \lim_{\epsilon \rightarrow o} F(x+\epsilon) = F(x) ).$$ (6.11)

La Fig. 6.3 mostra anche le funzioni di ripartizione delle variabili $X$ e $Z$ definite nel paragrafo precedente.