Esempi di costruzione di distribuzioni di variabili casuali

Facciamo alcuni esempi di costruzione di una variabile casuale a partire da eventi elementari.

• Lancio di un dado, con $X$ = ``numero impresso sulla faccia superiore'':

  $$f(x)=1/6 \hspace{1.0 cm} x=1, 2, \ldots, 6.$$ (6.1)

  
  

• Figura: Spazio delle possibilità relativo al lancio di due dadi e costruzione della variabile casuale ``somma''.

  
  Lancio di due dadi, con $X$ = ``somma dei due risultati'': $f(2)=1/36$, $f(3) =2/36$, etc (vedi figura 6.2). Volendo un'espressione sintetica (``forma chiusa'', nel gergo matematico) per le probabilità (non è assolutamente necessario e non sempre fattibile) si può scrivere

  $$f(x) = \frac{6-\vert 7-x\vert}{36} \hspace{1.0 cm} x=2, 3,\ldots, 12\,.$$ (6.2)

  
  

• Consideriamo un esperimento consistente nel lancio di tre monete regolari. Gli eventi elementari $e_i$ di $\Omega$ sono costituiti da tutte le possibili sequenze Testa/Croce: $\Omega$ = {TTT, TTC, ..., CCC}. Ognuno di questi eventi ha la stessa probabilità di verificarsi. A partire da questi eventi possiamo costruire più variabili casuali, ad esempio il numero di teste ($X$), il numero di croci ($Y$), il numero di teste consecutive ($Z$), etc. Riportiamo nella seguente tabella gli eventi elementari, insieme al valore che acquistano le variabili casuali costruite su di essi.

  $e_i$	$P(e_i)$	$X$	$Y$	$Z$
  TTT	1/8	3	0	2
  TTC	1/8	2	1	1
  TCT	1/8	2	1	0
  TCC	1/8	1	2	0
  CTT	1/8	2	1	1
  CTC	1/8	1	2	0
  CCT	1/8	1	2	0
  CCC	1/8	0	3	0

  
  
  

  Le distribuzioni di probabilità per $X$, $Y$ e $Z$ sono le seguenti^6.5:
  
  

  $x$	$f(x)$
  0	1/8
  1	3/8
  2	3/8
  3	1/8

  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$

  $y$	$f(y)$
  0	1/8
  1	3/8
  2	3/8
  3	1/8

  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$

  $z$	$f(z)$
  0	5/8
  1	2/8
  2	1/8

  
  
  

La figura 6.3 mostra la rappresentazione grafica, mediante diagrammi a barre, delle distribuzioni di probabilità delle variabili $X$ e $Z$.

Figura: Rappresentazione grafica di probabilità, della funzione di probabilità discreta e della funzione di ripartizione. Per $x=1$ è mostrato esplicitamete come il salto della $F(x)$ sia pari al valore di $f(x)$ in quel punto.