Capitolo 6

1. La variabile casuale può assumere con uguale probabilità i valori $x_i$ = -1, -2, -3, 2, 6, 10: $f(x_i)= 1/6$.

2. E$(X)=***$, $\sigma(X)=***$.

3. $f(x_4) < 0$;
   $\sum_i f(y_i) \ne 1$.

4. $f(x),\ x=1,2,\ldots,6$: {0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.05, 0.05}. Ne seguono i sette valori di probabilità richiesti: 0.2; 0; 0.6; 0.15; 0.6; 0.9; 0.6.

5. Distribuzione discreta uniforme: $f(x)=1/10$;
   $\overline{x}= \sum_i x_i\, f(x_i) = 5.5$;
   $\overline{x^2} = \sum_i x_i^2\, f(x_i) = 38.5$;
   $\sigma = 2.87$.

6. $2 \le X_1 \le 12$: $f(2)=1/36$, $f(3) =2/36$, $f(4) = 3/36$, $f(5) = 4/36$, $f(6) = 5/36$, $f(7) = 6/36$, $f(8) = 5/36$, $f(9) = 4/36$, $f(10) = 3/36$, $f(11) = 2/36$, $f(12) = 1/36$; $F(2) = 1/36$, $F(3) = 3/36$, $F(4) = 6/36$, $F(5) = 10/36$, $F(6) = 15/36$, $F(7) = 21/36$, $F(8) = 26/36$, $F(9) = 30/36$, $F(10) =33/36$, $F(11) =35/36$, $F(12) =36/36$.
   E$(X_1) = 7$, Var$(X_1) = 5.75$; $\sigma_{X_1}=2.40$
   $0 \le X_2 \le 5$: $f(0) = 6/36$, $f(1) = 10/36$, $f(2) = 8/36$, $f(3) = 6/36$, $f(4) = 4/36$, $f(5) = 2/36$. $F(0) = 6/36$, $F(1) =16/36$, $F(2) =24/36$, $F(3) =30/36$, $F(4) =34/36$, $F(5) =34/36$.
   E$(X_2) = 1.94$, Var$(X_2) = 1.55$, $\sigma_{X_2} = 1.25$.

7. La prima tensione può valere 2.25, 2.26, ...2.34 V con distribuzione uniforme di probabilità. Analogalmente, per la seconda si ha una distribuzione uniforme fra 2.05 e 2.14. Previsione e incertezza di previsione delle due grandezza in Volt sono rispettivamente^16.1: E$(V_1) = 2.295$, $\sigma(V_1) = 0.029$; E$(V_1) = 2.095$, $\sigma(V_2) = 0.029$. Costruendo una tabellina di tutte le possibilità, in analogia con il caso dei dadi di figura 6.2, si vede che la differenza dei valori $X=V_1-V_2$ può assumere valori distanziati 0.01 V e compresi fra 0.11 e 0.29 V, con probabilità massima al centro $P(X=0.20)=f(0.20)=1/10$ e decrescente verso il valori estremi, rappresentabile matematicamente da:
   $$f(x)=0.1-\vert x-0.20\vert\,.$$
   Facendo i conti si ottiene che la differenza di tensione ha una previsione di 0.20 V con una incertezza di 0.04 V (si noti come l'incertezza sia al di sotto della cifra meno significativa della lettura!)

8. Con i simboli precedentemente introdotti: $P(X=0)=f(0) =0$.

9. La differenza di temperatura (in $^\circ$C) è una variabile aleatoria con distribuzione di probabilità: $f(2)=0.0225$, $f(3)=0.21$, $f(4)=0.535$, $f(5)=0.21$, $f(6)=0.0225$. Ne deriva un valore atteso di 4.0$^\circ$C, con incertezza standard di 0.8$^\circ$C.

10. 43.5, 64.3, 82.0, 94.3 e 99.7 %. Ovviamente la probabilità che il numero si verifichi alla 101 estrazione è sempre 1/18.

11. Previsione 265720.5 giocate, con una incertezza uguale alla previsione stessa.

12. Chiamando $\epsilon$ e $\delta$ due numeri reali positivi e minori di 1/2:
    a) Se $f(0)=1/2-\epsilon$ e $f(1)=1/2+\epsilon$ segue: E$(X)=1/2+\epsilon$, $Var[X]=1/4-\epsilon^2 \le 1/4$;
    b) Se $f(0)=1/2-\epsilon$, $f(0+\delta)=\epsilon$, $f(1-\delta)=\epsilon$ e $f(1)=1/2-\epsilon$ segue: E$(X)=1/2$, $Var[X]=1/4-2\epsilon(\delta-\delta^2) \le 1/4$

13. No. Se $a$ e $b$ sono gli estremi dell'intervallo, la deviazione standard non può eccedere $\sigma_{max}= (b-a)/2$ (vedi problema precedente).

14. E$(X)=6$, $\sigma(X)=5.5$.

15. $P(X \le 3) = 91/216 = 42.1\,\%$; in media deve attendere 6 turni prima di poter rientrare in gioco.

16. $1/1024 = 0.098\%$.
17. Indicando con $G$ la vincita netta: $P(G=-102^\cdot 300^\cdot 000) = 1.3\times 10^{-3}$; $P(G=100^\cdot 000) = 0.9987$. E$(G) = -33^\cdot 000$; $\sigma(G) = 3^\cdot 690 ^\cdot 000$.

18. Paradosso di San Pietroburgo.