Covarianza di due medie aritmetiche

Immaginiamo di ripetere molte volte un esperimento, sotto condizioni apparentemente identiche, e che per l'$i$-mo esperimento si misurino due grandezze $X_i$ e $Y_i$. I possibili esiti degli esperimenti saranno $n$ coppie di variabili casuali analoghe, cioè tutte aventi la stessa distribuzione di probabilità. Nel caso generale $X_i$ e $Y_i$ non sono in genere indipendenti e avremo quindi una covarianza Cov$(X\, Y)$ (è stato omesso l'indice $i$ in quanto la covarianza è la stessa per tutte le coppie. Applichiamo ora i risultati del paragrafo precedente per calcolare la covarianza fra le due medie aritmetiche $\overline{X}_n =\frac{1}{n}\sum_i X_i$ e $\overline{Y}_n =\frac{1}{n}\sum_i Y_i$. Al fine di utilizzare le formule precedenti si consideri $2\, n$ variabili $W_i$, tali che

$$W_i = X_i \hspace{1.0cm}(1\le i \le n)$$

$$W_{n+i} = Y_i \hspace{1.0cm}(1\le i \le n)$$

Le due medie possono essere riscritte come

$$\overline{X}_n = \sum_i^{2n} \alpha_i W_i$$

$$\overline{Y}_n = \sum_i^{2n} \beta_i W_i$$

I coefficienti $\alpha_i$ valgono $1/n$ per $i$ compreso fra 1 e $n$, mentre sono nulli per $i>n$. Viceversa $\beta_i$ sono nulli per $i < n$ e valgono $1/n$ per $n+1 \le i \le n$. Osservando la (10.46) (riscritta in termini delle $W_i$), notiamo che i soli contributi non nulli sono quelli dovuti alla covarianza fra $W_i$ e $W_{n+i}$, corrispondenti alla coppia $\{X_i,Y_i\}$^10.9. Ne segue che

$$(\overline{X}_n,\overline{Y}_n) = \sum_i^n \alpha_i\beta_{n+i} (W_i,W_{n+i})$$

$$= n\cdot\left(\frac{1}{n}\frac{1}{n}\right) (X,Y)$$

$$= \frac{1}{n} (X,Y)$$ (10.48)

Come la varianza, anche la covarianza delle medie è $1/n$ volte inferiore alla covarianza di ciascuna coppia di variabili. Rimane invece invariato il coefficiente di correlazione:

$$\rho(\overline{X}_n,\overline{Y}_n) = \frac{\mbox{Cov}(\overline{X}_n,\overline{Y}_n)} {\sigma(\overline{X}_n)\sigma(\overline{Y}_n)} = \rho(X,Y)\,.$$ (10.49)