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Previsione quantitativa della distribuzione statistica, subordinata a $ \lambda =\overline {d}$, e confronto con le osservazioni

Estendiamo ora le previsioni a $ n=200$ ipotetici reggimenti reggimenti che si comportino in quel modo (ma diversi dai 200 osservati). In quanti ci aspettiamo che non si verifica nessun morto? Se indichiamo con $ X_\circ$ la variabile casuale ``numeri di volte in cui si registra nessun morto'', questa sarà distribuita secondo una binomiale:
$\displaystyle X_\circ$ $\displaystyle \sim$ $\displaystyle {\cal B}_{n,p_\circ} = {\cal B}_{200,\, 0.543}\,.$  

Ne segue che
E$\displaystyle (X_\circ)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle p_\circ\, n = 108.6$  
$\displaystyle \sigma(X_\circ)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 7.0 \,:$  

ci aspettiamo di trovare $ 109\pm 7$ reggimenti su 200 in non si verifichi alcun morto in un anno. La tabella 7.6 riporta un valore di 109. Un caso di accordo perfetto al quale non va attribuito nessun significato particolare (se qualche ombra di dubbio che i dati siano stati truccati...). Riportiamo nella tabella 7.7 i dati originali, accompagnati dalle previsioni e incertezze di previsioni subordinate ad un processo di Poisson di $ \lambda = 0.61$.

Tabella: Confronto fra dati sperimentali e previsioni calcolate assumendo un processo di Poisson con $ \lambda = 0.61$. $ d_i$ indica il numero di morti in un anno, $ x_{sp_i}$ il numero di occorrenze osservate sperimentalmente, $ w_i$ la frequenza relativa delle occorrenze; $ p_i$ è la probabilità di $ d_i$ subordinata ad un processo di Poisson con $ \lambda = 0.61$; $ X_i$ rappresenta il numero di occorrenze della $ i$-ma possibilità e $ W_i$ la rispettiva frequenza relativa.
       
  dati sperimentali previsioni basate su $ {\cal P}_{\lambda=\overline{d}=0.61}$
       
      su $ d_i$ sulle frequenze di $ d_i$
$ d_i$ $ x_{sp_i}$ $ w_i$ $ p_i$ E$ (X_i)$ $ \sigma(X_i)$ E$ (W_i)$ $ \sigma(W_i)$
    (%) (%)     (%) (%)
               
0 109 54.5 54.3 108.6 7.0 54.3 3.5
1 65 32.5 33.1 66.2 6.7 33.1 3.4
2 22 11.0 10.1 20.2 4.3 10.1 2.1
3 3 1.5 2.1 4.2 2.0 2.1 1.0
4 1 0.5 0.3 0.6 0.8 0.3 0.4
$ \ge 5$ 0 0 0.04 0.1 0.3 0.04 0.2
               


Si noti l'ottimo accordo fra dati e previsioni (entro le incertezze di queste ultime).

Questo esempio, oltre alla funzione propedeutica alla problematica della ``verifica''7.6 delle leggi statistiche, rappresenta anche un interessante caso di una quantità calcolata mediante una distribuzione di probabilità ($ p_i$) che viene successivamente usata come parametro di un'altra distribuzione.

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Giulio D'Agostini 2001-04-02