Previsione della distribuzione statistica subordinata all'incerteza su $\lambda$

Vediamo ora come l'incertezza su $\lambda$ si propaga sull'incertezza sui futuri esiti, e quindi sulla possibile distribuzione statistica che sarà osservata. Concentriamoci, tanto per fare un esempio, sul valore $D=2$ (due morti). Subordinatamente all'ipotesi $\lambda=\lambda_j$ si calcola:

$$P(D=2\,\vert\,{\cal P}_{\lambda_i}) = f(2\,\vert\,{\cal P}_{\lambda_j}) = \frac{e^{-\lambda_i}\,\lambda_i^2}{2}\,.$$

Pesando le varie ipotesi con le loro probabilità (legge delle alternative, vedi paragrafo 4.9.2):

$$P(D=2) = \sum_{j=1}^{n_\lambda} P(D=2\,\vert\,{\cal P}_{\lambda_j})\cdot P(\lambda=\lambda_j)\,.$$

Scrivendo le probabilità in termini delle funzioni di probabilità otteniamo

$$p_2 \equiv P(D=2\,\vert\, ,I_\circ) = \sum_{j=1}^{n_\lambda} f(2\,\vert\,{\cal P}_{\lambda_j})\cdot f(\lambda_j\,\vert\, ,I_\circ)\,.$$

L'espressione generale della distribuzione di probabilità di $D$ diventa:

$$p_i=f(d_i\,\vert\, ,I_\circ) = \sum_{j=1}^{n_\lambda} \frac{e^{-\lambda_j}\,\lambda_j^i}{i!} f(\lambda_j\,\vert\, ,I_\circ)\,.$$

*** per fare le cose bene si dovrebbe introdurre la multinomiale ***