Legge delle alternative

Ricordiamo la formula che esprime la probabilità di un certo evento $E$ come somma delle probabilità di tutti i prodotti logici dell'evento $E$ con ciascuno degli eventi di una classe completa (vedi 4.6):

$$P(E) = \sum_{i=1}^nP(E\cap H_i) \ \left\{\! \begin{array}{l} H_i \cap H_j = \emptyset\ \ \ \ \forall i\ne j \\ \bigcup_{i=1}^n H_i = \Omega \end{array}\right.$$ (4.25)

Applicando a ciascuno dei prodotti logici il teorema delle probabilità composte otteniamo

$$P(E)= \sum_i P(H_i)\cdot P(E\,\vert\,H_i)\,,$$ (4.26)

conosciuta come legge delle alternativa o formula di disintegrazione (si incontra anche la denominazione formula delle probabilità totali, ma non va confusa con l'omonima (4.5)!).

Anche se la relazione è una semplice conseguenza della (4.6) e del teorema delle probabilità composte, essa è molto importante sia per le applicazioni che per una migliore ``visualizzazione'' della probabilità condizionata. Infatti:

• riscrivendo la 4.26 come

  $$P(E)= \frac{\sum_i P(H_i)\cdot P(E\,\vert\,H_i)}{\sum_i P(H_i)}$$ (4.27)

  
  
  (in quanto $\sum_i P(H_i)=1$) si mette in luce come la probabilità di un qualsiasi evento sia pari alla media delle sue probabilità condizionate dagli eventi di una classe completa, pesate con le probabilità dei condizionanti;
• un altro punto di vista interessante, già usato nell'esempio del labirinto di figura 4.4, è quello dei percorsi alternativi con cui si può ``arrivare'' all'evento $E$. (vedi figura 4.5). Ne seguono due regole pratiche:
  1. la probabilità di seguire un certo percorso è pari al prodotto delle probabilità lungo il percorso (rilettura del teorema delle probabilità composte: il dato ``percorso'' $i$-mo è equivalente al verificarsi sia di $E$ che di $H_i$);
  2. la probabilità di un evento è pari alla somma della probabilità dei percorsi che conducono a tale evento (rilettura della legge delle alternative).

Figura: Legge delle alternative (o formula di disintegrazione) nel punto di vista dei percorsi alternativi che conducono ad un certo evento.