${\bf\circlearrowright }$Estensione dei teoremi sulla probabilità alle funzioni di probabilità discrete

Avendo la funzione di probabilità di variabili casuali discrete il significato di probabilità, si possono applicare ad esse tutte le proprietà delle probabilità incontrate nel capitolo chap:RegoleProb. Basta sostituire al simbolo $P(\cdot)$ il simbolo $f(\cdot)$ e ai generici eventi $E_i$ i valori assunti dalle variabili casuali. Ad esempio,

$$P(X=x\,\vert\,Y=y) \rightarrow f(x\,\vert\,y)\,,$$

$$P(X=x) =\sum_yP(X=x\,\vert\,Y=y)\cdot P(Y=y) \rightarrow f(x) = \sum_y f(x\,\vert\, y)f(y)$$

$$P(X=x\cap Y=y) \rightarrow f(x,y)\,,$$

e così via. In particolare l'ultimo esempio mostra come si costruisce una variabile doppia, argomento sul quale ritorneremo nel capitolo 9 (non perché entrino in gioco concetti particolari, ma solo per seguire un certo ordine di esposizione del matriale). Vediamo ora come si estende il teorema di Bayes, facendo degli esempi di inferenza che ci serviranno di preparazione ai problemi di inferenza sui valori di grandezze fisiche.

Se abbiamo due variabili casuali $X$ e $Y$, la probabilità che $Y$ assuma il valore $y$, subordinatamente all'informazione che $X$ assuma il valore $x$ è data da:

$$P(Y=y\,\vert\,X=x) \propto P(X=x\,\vert\,Y=y)\cdot P(Y=y)\,.$$

In termini di funzioni di probabilità essa può essere scritta come

$$f(y\,\vert\,x) \propto f(x\,\vert\,y)\, f(y)\,,$$

che, opportunamente normalizzata, diventa

$$f(y\,\vert\,x) = \frac{f(x\,\vert\,y)\, f(y)} {\sum_y f(x\,\vert\,y)\, f(y)}\,$$ (7.37)

Questa è l'espressione del teorema di Bayes per variabili casuali discrete.

Tabella: Sommario delle varie distribuzioni incontrate, con relativi valori attesi e deviazioni standard. In genere, $q$ sta per $1-p$. Nella ipergeometrica $r$ sta per $M/M$ e ``$\sigma _B$'' sta per la deviazione standard della binomiale di $p=r$ e stesso $n$. Per i domini delle funzioni e il tipo di parametri si rimanda al testo.

nome	simbolo	funzione	$m$	$\sigma$
uniforme	${\cal K}_{1,n}$	$\frac{1}{n}$	$\frac{n+1}{2}$	$\frac{\sqrt{n^2-1}}{12}$
Bernoulli	${\cal B}_p$	$p^xq^{1-x}$	$p$	$\sqrt{p\,q}$
geometrica	${\cal G}_p$	$p\,q^{x-1}$	$\frac{1}{p}$	$\frac{\sqrt{q}}{p}$
binomiale	${\cal B}_{n,p}$	$\binom{n}{x} \, p^x\, q^{n-x}$	$n\, p$	$\sqrt{n\, p\, q}$
Poisson	${\cal P}_\lambda$	$\frac{\lambda^x}{x!}\, e^{-\lambda}$	$\lambda$	$\sqrt{\lambda}$
Pascal	${\cal P}a_{k,p}$	$\binom{x-1}{k-1}\, p^k(1-p)^{x-k}$	$\frac{k}{p}$	$\sqrt{k}\,\frac{\sqrt{q}}{p}$
binomiale	${\cal B}^{-}_{k,p}$	$\binom{x+k-1}{k-1}\, p^k(1-p)^{x}$	$\frac{k\,q}{p}$	$\sqrt{k}\,\frac{\sqrt{q}}{p}$
negativa
ipergeometrica	${\cal H}_{N,M,n}$	$\frac{\binom{M}{x} \, \binom{N-M}{n-x}} {\binom{N}{n}}$	$n\,r$	$\sigma_B\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$