Trasformazione di una variabile distribuita uniformemente

Consideriamo il caso di una variabile ($Y$) funzione di un'altra ($X$) che sia distribuita uniformemente fra 1 e $n=100$ ( $X\sim {\cal K}_{1,n}$). Esso ci aiuterà a capire il comportamento della trasformazione delle variabili continue. Scegliamo le tre diverse funzioni

$$Y_1 = 100\,X$$

$$Y_2 = X^2$$

$$Y_3 = 1000\,\sqrt{X}\,.$$

Alcuni valori delle variabili sono mostrati nella prima parte della tabella 10.1.

Tabella: Tre trasformazioni della distribuzione uniforme discreta ${\cal K}_{1,100}$: $Y_1 = 100\,X$; $Y_2 = X^2$; $Y_3 = 1000\,\sqrt{X}$. Sono mostrati: i primi e gli ultimi valori assunti dalle variabili; la probabilità (in %) che le variabili siano comprese nei dieci intervalli di ampiezza 1000; il valore atteso e la deviazione standard.

$i$	$Y_{1}=100\, X$	$Y_{2}=X^2$	$Y_{3}= 1000\,\sqrt{X}$
1	100.	1.	1000.
2	200.	4.	1414.
3	300.	9.	1732.
4	400.	16.	2000.
5	500.	25.	2236.
6	600.	36.	2449.
7	700.	49.	2646.
8	800.	64.	2828.
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
93	9300.	8649.	9644.
94	9400.	8836.	9695.
95	9500.	9025.	9747.
96	9600.	9216.	9798.
97	9700.	9409.	9849.
98	9800.	9604.	9899.
99	9900.	9801.	9950.
100	10000.	10000.	10000.
$P(0\le Y_j\le 1000)$	10	31	1
$P(1000 < Y_j\le 2000)$	10	13	3
$P(2000 < Y_j\le 3000)$	10	10	5
$P(3000 < Y_j\le 4000)$	10	9	7
$P(4000 < Y_j\le 5000)$	10	7	9
$P(5000 < Y_j\le 6000)$	10	7	11
$P(6000 < Y_j\le 7000)$	10	6	13
$P(7000 < Y_j\le 8000)$	10	6	15
$P(8000 < Y_j\le 9000)$	10	5	17
$P(9000 < Y_j\le 10000)$	10	6	19
E$(Y_j)$	5050	3384	6715
$\sigma(Y_j)$	2887	3009	2327
$v(Y_j)$	0.57	0.89	0.35
$Y_j[$E$(X)]$	5050	2550	7106

Il calcolo delle funzioni di probabilità è banale. Essa vale 1/100 per ciascuno dei valori considerati. La differenza fra $Y_1$ e le altre due variabili è che queste non hanno valori equidistanziati, pur essendo la distribuzione uniforme nel senso di $f(\cdot)=k$:

• la variabile $Y_2$, pari a $X^2$, ha valori fitti all'inizio che poi si diradano^10.4 al crescere di $i$;
• la variabile $Y_3$, proporzionale a $\sqrt {X}$, ha invece l'andamento opposto: i valori sono molto distanziati all'inizio e diventano più fitti alla fine;
• come consequenza di questi diversi comportamenti la distribuzione di $Y_2$ ha il baricentro più basso di $Y_1$, $Y_3$ più alto;
• la diversa ``densità di punti per intervallo della variabile'' è quantificata nella tabella dalla probabilità che si verifichi la variabile in un intervallo di ampiezza 1000 (semplicemente proporzionale al numero di valori in tale intervallo, in quanto la probabilità di ciascuno di essi è costante);
• sebbene, a diversità delle funzioni continue, non si possa parlare di una funzione continua densità, possiamo considerare ugualmente la densità media di probabilità:
  

  $$= \frac{\mbox{Prob in }\Delta y}{\Delta Y}$$ densità media di prob. di Y

  $$\propto \frac{\char93 \ \mbox{valori}}{\Delta Y} \propto \frac{\Delta X}{\Delta Y} \frac{1}{\frac{\Delta Y}{\Delta X}}\,;$$

  
  
  questo mostra che, quando i valori di $Y$ sono abbastanza fitti entro l'unità di scala variabilità della grandezza ( $\approx \sigma$)
  

  $$\frac{\mbox{Prob in }\Delta y}{\Delta Y} \rightarrow \frac{1}{\frac{\mbox{d}Y}{\mbox{d}X}}\,.$$