Legge empirica del caso e ``definizione'' frequentista

Tabella: Risultati della simulazione al computer di estrazioni con probabilità a priori di successo pari a 1/2. $T$ e $C$ stanno per ``testa'' e ``croce'' per analogia con il lancio di monete perfette. $N^i$, $N_T^i$ e $f_{N_T^i}$ indicano il numero di ``lanci'', il numero di ``teste'' e la loro frequenza relativa. È anche riportato il valore assoluto della differenza fra numero di teste e ``numero'' di ``croci''.

i	$N^i$	$N^i_T$	$N^i_T/N^i_C$	$f(N_T^i)$	$\vert N^i_T - N^i_C\vert$
1	10	3	0.42857	0.3	4
2	100	53	1.12766	0.53	6
3	1000	484	0.93798	0.484	24
4	10000	4956	0.98255	0.4956	88
5	100000	49983	0.99932	0.49983	34
6	1000000	500475	1.00190	0.500475	950
7	10000000	5000790	1.00032	0.5000790	1580

Nel passato ha avuto grande importanza la constatazione empirica che, per i semplici casi in cui si sa calcolare la probabilità mediante ragionamenti di simmetria (``definizione'' di Laplace), si nota che la frequenza relativa ``è in genere prossima'' al valore di probabilità calcolato a priori. In effetti, sperimentalmente risulta che questo è ``praticamente vero'' quando il numero di prove è molto grande. In altri termini, maggiore è il numero di prove e ``meno frequentemente succede'' di osservare grandi scarti della frequenza dal valore di probabilità, ovvero

$$\mbox{$\lim_{N \rightarrow \infty}$} \, \frac{N_E}{N} = p$$ (2.4)

Figura: Frequenza relativa dell'evento ``Testa'' in funzione del numero di eventi in un esperimento simulato del lancio di una moneta. Sono riportate quattro sequenze indipendenti.

Esempi (simulati al computer) di frequenza relativa in funzione del numero dei lanci di una moneta sono mostrati nella tabella 2.1 e nella figura 2.1.

Questo tipo di osservazioni sperimentali ha condotto ad enunciare la così detta legge empirica del caso:

In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è circa uguale alla sua probabilità. L'approssimazione migliora con il numero delle prove.

Questo fatto prettamente empirico ha suggerito di ribaltare la (2.4) e ``definire'' la probabilità in termini di frequenza relativa misurata in una successione arbitrariamente grande di prove:

$$p = \lq\lq \mbox{$\lim_{N \rightarrow \infty}$} ''\ \frac{N_E}{N}\,.$$ (2.5)

(il simbolo di limite è fra virgolette perché non ha niente a che vedere con i limiti intesi in senso matematico). L'interesse del collegamento fornito dalla legge empirica del caso^2.5consiste nel fatto di poter calcolare la probabilità anche in quelle circostanze in cui è difficile fare l'inventario di tutti i casi possibili ed equiprobabili su cui si basa la definizione classica di Laplace, con la convinzione che si stia sostanzialmente determinando la ``stessa'' quantità.

Come fatto notare a proposito della (2.4), anche la (2.5) non va intesa come un limite nel senso matematico. Non c'è infatti nessuna garanzia che data una grandezza piccola $\epsilon$ esista un $N_\circ$ arbitrariamente grande tale che se $N>N_\circ$ ci sia l'assoluta certezza che la frequenza relativa differisca da $p$ meno di $\epsilon$.