Indipendenza stocastica (o in probabilità)

Immaginiamo l'esperimento del lancio di due dadi regolari distinguibili e di indicare con $d_1$ e $d_2$ i rispettivi valori. Interessiamoci alla probabilità dei seguenti eventi relativi al $2^0$ dado $\lq\lq d_2=1$'' $\lq\lq d_2=3$'' e $\lq\lq d_2=6$''. Per simmetria possiamo solo assegnare probabilità 1/6 a ciascuno degli eventi. Consideriamo ora di voler valutare la probabilità nell'ipotesi che i seguenti eventi siano alternativamente veri: $\lq\lq d_1=5$''; $\lq\lq d_1+d_2\ge 9$''; $\lq\lq d_2\le d_1$''. (Una persona potrebbe sbirciare il risultato e darci queste informazioni.)

Figura: Spazio campionario ed esempi di eventi nel caso di lancio di due dadi. Sono indicati i condizionamenti ``la somma è maggiore o uguale a 9'' e ``il secondo valore è non superiore al primo''.

Calcolando direttamente^4.5le probabilità condizionate facendo uso della figura 4.3 otteniamo per i tre condizionamenti:

$$\lq\lq d_1 = 5'' : \left\{\! \begin{array}{l} P(d_2=1\,\vert\,d_1=5) = 1/6 \hspace{1... ...\ P(d_2=6\,\vert\,d_1=5) = 1/6 \hspace{1.23 cm}[= P(d_2=6)] \end{array}\right.$$

$$\lq\lq d_1+d_2\ge 9''&: \left\{\! \begin{array}{l} P(d_2=1\,\vert\,d_1+d_2\ge 9) = 0 \hsp... ...2=6\,\vert\,d_1+d_2\ge 9) = 4/10 \hspace{0.2 cm}[> P(d_2=6)] \end{array}\right.$$

$$\lq\lq d_2\le d_1'' : \left\{\! \begin{array}{l} P(d_2=1\,\vert\,d_2\le d_1) = 6/21 \hs... ..._2=6\,\vert\,d_2\le d_1) = 1/21 \hspace{0.87 cm}[< P(d_2=6)] \end{array}\right.$$

Si vede quindi come il nuovo stato di informazione possa aumentare, diminuire o inalterare la credibilità dell'evento in considerazione. Anche chi non sa - o non ha tempo di - fare i conti in dettaglio intuisce come, se la somma dei due risultati è maggiore o uguale a 9, sia più facile che si verifichino valori alti per il secondo dado, e sicuramente non inferiori a 3. Se l'ipotesi che un evento $H$ sia vero cambia la probabilità di un altro evento ($E$) diciamo che i due eventi sono correlati:

• se $P(E\,\vert\,H) > P(E) \longrightarrow$ $E$ e $H$ sono correlati positivamente;
• se $P(E\,\vert\,H) < P(E) \longrightarrow$ $E$ e $H$ sono correlati negativamente.

Altrimenti

• se $P(E\,\vert\,H) = P(E)$ i due eventi sono indipendenti, o più propriamente indipendenti in probabilità (o stocasticamente indipendenti).

In questo caso il teorema delle probabilità composte diventa:

$$P(E\cap H) = P(E)\cdot P(H)\,,$$ (4.21)

nota come regola della moltiplicazione della probabilità di eventi indipendenti. Questa relazione può essere un modo alternativo alla condizione $P(E\,\vert\,H) = P(E)$ per definire l'indipendenza stocastica. Si noti come l'uso della (4.21) sia duplice. Ci sono dei casi in cui è possibile valutare direttamente i tre termini della relazione e verificare l'indipendenza, oppure assumere l'indipendenza e utilizzare tale formula per calcolare la probabilità congiunta a partire dalle probabilità dei due eventi (o in genere del terzo incognito).