Condizionamento da eventi di probabilità nulla

Il fatto che la formula (4.17) non possa definire la probabilità condizionata, ma ne offra soltanto una valutazione se sono noti gli altri due termini, può essere compreso, oltre che dai ragionamenti di buon senso fatti precedentemente, dal considerare gli eventi di probabilità nulla nel senso chiarito nel paragrafo 2.7.

Innanzitutto è chiaro che la probabilità di un evento condizionato con sé stesso deve essere sempre uguale ad uno, indipendentemente dal valore di $P(E)$, in quanto $P(E\,\vert\,E)$ rappresenta ``la probabilità di $E$ nell'ipotesi che $E$ sia vero'':

$$P(E\,\vert\,E) = 1 \hspace{0.5 cm}\,.$$

Inoltre, se consideriamo due eventi $A$ e $B$ di probabilità nulla, ma ai quali attribuiamo lo stesso grado di fiducia (si considerino ad esempio le condizioni ``normali'' di traffico descritte nel paragrafo 2.7) deve valere:

$$P(A) = P(B) = P(A\cup B) =$$ 0

$$\hspace{6.4 cm}$$

$$P(A\cup B\,\vert\, A\cup B) = 1$$

$$P(A\,\vert\,A\cup B) + P(B\,\vert\,A\cup B) = 1$$

$$\hspace{6.0 cm}$$

$$P(A\,\vert\, A\cup B) = \frac{1}{2}$$

$$P(B\,\vert\,A\cup B) = \frac{1}{2}\,,$$

sebbene queste probabilità non siano ottenibili dalla (4.17).

Gli esempi appena riportati possono sembrare più delle curiosità che dei casi di interesse scientifico. È invece facile convincersi, ad esempio, che ogni volta che si valuta la probabilità di qualche evento mediante simulazioni al computer che dipendono da parametri rispetto ai quali si è in condizione di incertezza si sta usando esattamente il concetto di condizionamento da eventi di probabilità nulla.