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$ {\bf\circlearrowright }$Caso generale di inferenza con verosimiglianza binomiale

Affrontiamo ora il caso generale dell'inferenza di $ p$ dalla conoscenza di $ n$ e di $ X=x$ e dall'aver assunto un processo di Bernoulli indipendente per ogni esito, sotto condizione che $ p$ valga un certo valore (si potrebbe scrivere ``$ P=p$'', ma, come già visto per $ \mu $ e $ \sigma $, per i parametri delle distribuzioni preferiamo utilizzare soltanto la lettera minuscola). Questo è stato il famoso ``problem in the theory of chance'' che aveva indotto il reverendo Bayes a sviluppare formalmente il metodo di inversione di probabilità che porta il suo nome. Assumendo una distribuzione uniforme per $ p$ abbiamo:
$\displaystyle f(p\,\vert\,x,n,{\cal B})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{
f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p})\,f_\circ(p)
}{
\int_0^1\! f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p})\,f_\circ(p)\,\rm {d}p
}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{
\frac{n!}{(n-x)!\,x!}\,p^x\,(1-p)^{n-x}\,f_\circ(p)
}{
\int_0^1\!
\frac{n!}{(n-x)!\,x!}\,p^x\,(1-p)^{n-x}\,f_\circ(p)\,\rm {d}p
}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{ p^x\,(1-p)^{n-x}}{\int_0^1 \!p^x\,
(1-p)^{n-x}\,\rm {d}p}\, .$ (12.10)

Questa volta l'integrale a denominatore è meno banale del caso gaussiano. Il risultato finale è:

$\displaystyle f(p\,\vert\,x,n,{\cal B}) = \frac{(n+1)!}{x!\,(n-x)!}\,p^x\,(1-p)^{n-x}\,,$ (12.11)

di cui sono mostrati alcuni esempi in Fig. 12.1.

Figura: Funzione densità di probabilità del parametro $ p$ della binomiale, avendo osservato $ x$ successi in $ n$ prove.
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/beta_cern.eps,clip=,width=\linewidth}\end{figure}

Si vede, come a parità di $ x/n$, al crescere di $ n$ si è sempre più sicuri su $ p$. Inoltre (semplice riflesso del limite a normale della binomiale) per $ n$ grande e $ x/n$ lontano da 0 e da 1 la funzione finale $ f(p)$ ha la forma gaussiana. Valore atteso, varianza e moda di $ f(p)$ sono:12.1
E$\displaystyle (p)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x+1}{n+2}$ (12.12)
Var$\displaystyle (p)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(x+1)(n-x+1)}{(n+3)(n+2)^2}$ (12.13)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x+1}{n+2}\left(\frac{n+2}{n+2}
-\frac{x+1}{n+2}\right)\frac{1}{n+3}$  
  $\displaystyle =$ E$\displaystyle (p)\,\left[1 - \mbox{E}(p)\right]\,\frac{1}{n+3}\,$ (12.14)
Moda$\displaystyle (p) \,\left[\equiv p_m \right]$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x}{n}.$ (12.15)

Su questo problema aveva lavorato, oltre che Bayes, anche Laplace e, in particolare, la (12.12) è nota come formula recursiva di Laplace. Si noti come essa sia dia valori di E$ (p)$ diversi da quelli di sicurezza (ovvero 0 e 1) anche quando $ X$ vale 0 o 1, consistente con il fatto che una inferenza asata su processi aleatori non può mai condurre alla sicurezza. Addirittura la formula dà una risposta ragionevole ( E$ (p)=1/2$) per $ x=n=0$, ovvero prima di aver eseguito le misure. Questo non ha niente di magico, ma è il solo riflesso della prior uniforme su $ p$.



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Giulio D'Agostini 2001-04-02