Casi critici

Consideriamo ora due situazioni estreme nelle quali non vale l'approssimazione gaussiana: $x=0$ e $x=n$. Esse sono particolarmente istruttive anche perché i conti si semplificano.

• x = 0: Il caso in cui non si osserva nessun evento favorevole è illustrato in figura 12.1. Sempre assumendo una prior uniforme, abbiamo:
  

  $$f(0\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = (1-p)^n ,$$ (12.20)

  $$f(p\,\vert\,x=0,n) = \frac{(1-p)^n}{\int_0^1\! (1-p)^n\,dp} = (n+1)\, (1-p)^n ,$$ (12.21)

  $$F(p\,\vert\,x=0, n) = 1 - (1-p)^{n+1}\, .$$ (12.22)

  
  
  Come si vede, benché il valore al quale si crede di più è sempre zero, quando $n$ è piccolo c'è ancora un ampio intervallo di valori di $p$ compatibili con le (non) osservazioni sperimentali. All'aumentare di $n$ cresce la confidenza che $p$ sia sempre più piccolo. In questi casi è utile riportare il risultato come limite superiore ad un certo livello di probabilità. Tipicamente si sceglie il 95%. Otteniamo quindi:
  

  $$F(p_\circ\,\vert\,x=0,n) = 0.95,$$

  $$p_\circ = 1 - \sqrt[n+1]{0.05}\,,$$ (12.23)

  
  
  che tende a 0 per $n\rightarrow\infty$.
• x = n: il caso di tutti eenti favorevoli è complementare al precedente (basta ragionare su $Q$ anziché su $p$):
  

  $$f(n\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = p^n ,$$ (12.24)

  $$f(p\,\vert\,x=n) = \frac{p^n}{\int_0^1 \! p^n\,\rm {d}p} = (n+1)\, p^n,$$ (12.25)

  $$F(p\,\vert\,x=n) = p^{n+1}\, .$$ (12.26)

  
  
  In questi casi si può essere interessati ad un limite inferiore ad un certo livello di probabilità. Usando di nuovo il 95% abbiamo:
  

  $$F(p_\circ\,\vert\,x=n) = 0.05\, ,$$

  $$p_\circ = Sqrt[n+1]{0.05}\, .$$ (12.27)

  
  
  In questo caso all'aumentare di $n$ il limite inferiore $p_\circ$ viene `spinto' verso 1.

La seguente tabella fornisce i limiti di probabilità al 95% in funzione di $n$. Per confronto diamo anche il limite superiore ottenuto in approssimazione poissoniana, che vredremo fra breve.

	Probability level = $95\,\%$
$n$	$x=n$	$x=0$
	binomial	binomial	Poisson approx.
			( $p_\circ=3/n$)
3	$p\ge 0.47$	$p\le 0.53$	$p\le 1$
5	$p\ge 0.61$	$p\le 0.39$	$p\le 0.6$
10	$p\ge 0.76$	$p\le 0.24$	$p\le 0.3$
50	$p\ge 0.94$	$p\le 0.057$	$p\le 0.06$
100	$p\ge 0.97$	$p\le 0.029$	$p\le 0.03$
1000	$p\ge 0.997$	$p\le 0.003$	$p\le 0.003$